理论力学难题选解.doc

理论力学难题选解示例 第二集 作者：李定海 前言 为了帮助优秀学生及报考研究生的学生进一步学好理论力学知识，加深、加宽对基本理论的理解，学活、用活，并学到灵活多样的解题方法，培养和锻炼创新能力，我们选编了部分理论力学难题，并用多种方法求解，供广大学生参考。这些题目都是我们独立创作的新题，颇具新意。 由于题目难度较大，解题方法较多，为便于学生消化、吸收，我们每学期在网上仅登录一集。 主编：江晓仑 2007年12月 例3-16 在图示系统中，鼓轮C的质量为m，半径为R＝2r，对其中心C的回转半径为?，可在水平面上作纯滚。均质杆AB长为6r，质量为m，其一端用光滑铰链A与鼓轮铰接，另一端与滑块B铰接。设滑块B的质量不计，滑道水平且光滑。初始时位于图示位置且静止。若在初瞬时于鼓轮C上作用一其矩为M的常力偶。试求图示初始瞬时(AC铅垂，?＝30°)鼓轮C、杆AB的角加速度、滑块B的加速度以及地面作用于鼓轮C的约束反力。 解法一：应用动力学普遍方程求解。 轮C作纯滚，为平面运动。杆AB也作平面运动。由于初瞬时系统静止，故杆AB与轮C的角速度均为零，但其角加速度不为零。设鼓轮A、杆AB的角加速度分别为?1、?2。 以C为基点求A点的加速度，则有 其加速度矢量如图(b)(1)所示。式中，，于是有 以B为基点，则A点的加速度为 式中，将上式沿y轴方向投影，有 从而 (1) 于是 (2) 以整体为研究对象，将惯性力系向各质心简化。将B、D处的约束解除并以约束反力代之，其受力图如图(b)(2)所示。系统具有4个自由度，以杆AB的转角?2、轮C的转角?1、A点的坐标x、y为广义坐标，其相应的广义虚位移为、、、。由动力学普遍定理，有 令，，有 由于，故有 (3) 令，，有 由于，故有 (4) 由(3)、(4)式，有 ， (5) 由(4)式，有 令，，有 由于连同(5)式，有 (4) 令，，有 由于以及(5)、(6)式，有 解法二：应用刚体平面运动微分方程求解。 由解法一中的(1)、(2)式知，其运动学关系为 ， (1) 以杆AB为研究对象，其受力图如图(c)(1)所示，由解法一知杆AB的角加速度?2＝0，杆AB作瞬时平动。由刚体平面运动微分方程，有 (2) (3) (4) 由(1)、(4)式，有 由上式以及(3)式，有 (5) 于是 (6) 以轮C为研究对象，受力如图(c)(2)所示。由刚体平面运动微分方程，有 (7) (8) (9) 由(2)和(7)式，有 (10) 由(6)和(8)式，有 (11) 由(2)、(9)和(10)式，有 ， 由(11)式，有 由(10)式，有 由(10)式，有 解法三：应用达朗伯原理(动静法)求解。 由解法一中的(1)、(2)式知，其运动学关系为 ， (1) 以杆AB为研究对象，由(1)式知杆AB的角加速度?2＝0，杆AB作瞬时平动。惯性力系向质心简化，其受力图如图(d)(1)所示。由动静法，有 于是 (2) 以整体为研究对象，将惯性力系向各质心简化，其受力图如图(d)(2)所示。由动静法，有 (3) (4) (5) 由(1)和(5)式，有 于是 由(2)式，有 由(3)式，有 由(4)式，有 解法四：应用相对于动点的动量矩定理和质心运动定理求解。 由解法一中的(1)、