理论力学难题选解示例.doc

第 PAGE 38 页 共 NUMPAGES 39 页 理论力学难题选解示例 第一集 作者：李定海 前言 为了帮助优秀学生及报考研究生的学生进一步学好理论力学知识，加深、加宽对基本理论的理解，学活、用活，并学到灵活多样的解题方法，培养和锻炼创新能力，我们选编了部分理论力学难题，并用多种方法求解，供广大学生参考。这些题目都是我们独立创作的新题，颇具新意。 由于题目难度较大，解题方法较多，为便于学生消化、吸收，我们每学期在网上仅登录一集。 主编：江晓仑 2007年9月 例3-11 在图示系统中，半径为、质量为m的均质轮O上缠绕细绳，绳端与杆BD的D端相连。均质杆AB、BD长均为l，质量均为m。当时系统静止。若在轮O上作用一其矩的常力偶，使系统沿光滑地面运动到图示位置。试求杆AB、BD和轮O的角速度、角加速度以及A、D处的约束反力。 解法一：应用动能定理、质心运动定理和相对于动点的动量矩定理求解。 轮O与杆AB作定轴转动，杆BD作平面运动，由于B、D两点的速度方向已知，故其速度垂线的交点P即为杆BD的速度瞬心，如图(b)(1)所示。 运动学关系 因为 于是 上式两边对时间求导数，有 于是 又因 所以 (1) 上式两边对时间求导数，有 所以 ， (2) 系统的动能 由于初始系统静止，则 (3) 力的功 由以及，有 (4) 由质点系动能定理，有 (5) 当?＝???时，有 ， 于是 (6) 由(1)、(6)式，有 (7) 将(5)式两边对时间求导数，有 将、?＝???代入上式，有 于是 (8) 由(2) 、(8)式，有 (9) 以轮O为研究对象，其受力图如图(b)(2)所示，由刚体绕定轴转动微分方程，有 即 于是 以杆AB、BD为研究对象，其运动学量如图(b)(3)所示， 其中 以D点为基点，则由求加速度的基点法，有 而 由质心运动定理，有 于是 (10) 于是 (11) 以杆AB为研究对象，由于B处约束反力不需要求解，所以应用对动点B的动量矩定理，由于B点为动点，有加速度，所以应在杆AB质心加上牵连惯性力，其受力如图(b)(4)所示。由相对动点的动量矩定理，有 式中，，连同(10)式一并代入上式，有 于是 由(11)式，有 解法二：应用动能定理和达朗伯原理(动静法)求解。 由解法一(6)、(7)、(8)、(9)式，可知 角速度为 ， (1) 角加速度为 ， (2) 以轮O为研究对象，将惯性力系向质心O点简化，结果如图(c)(1)所示。由动静法，有 于是 (3) 取杆AB、BD为研究对象，将惯性力系向两杆各自的质心简化，其简化结果如图(c)(2)所示。由动静法，并由(1)、(2)式，有 式中连同(3)式一并代入上式，有 式中， 于是 于是 解法三：应用动能定理和动力学普遍方程求解。 由解法一(2)、(6)、(7)式，可知 角速度为 ， (1) 角加速度为 ， (2) 以轮O为研究对象，圆轮中心为铰链，故具有一个自由度，取?3为广义坐标，广义虚位移为??3。其受力图如图(d)(1)所示，由动力学普遍方程，有 因为??3≠0，，，连同(2)式一并代入，有 (3) 以杆AB、BD为研究对象，解除约束，以反力代之，并视其为主动力，系统具有四个自由度，取杆AB、杆BD的转角?1、?2以及B点的坐标x、