电与磁的对偶性课程研究报告.doc

临沂大学 YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计） 题目7：电与磁的对偶性 姓名 学 号 课程名称 专 业 同组同学 xxxxxxxxx 得 分 电与磁的对偶性 摘要：先推导出Maxwell方程组，再把真实的场源等效为假想的磁荷和磁流，导出此时电磁场的Maxwell方程组表达式，利用对偶定理的定义得出电与磁的对偶性。 关键词： 麦克斯韦方程组 对偶 磁荷 磁流 电流 电荷 题目内容：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 解： （注：“如果两个方程具有相同的数学形式，这两个方程就称为对偶方程，方程中队应位置的量称为对偶量。知道一个方程的解就能写出另一个方程的解，这一原理称为对偶定理。”） 麦克斯韦电磁理论的基础是电磁学的三大实验定律，即库仑定律、比奥--萨法尔定律和法拉第电磁感应定律。这三个实验定律是各自的特定条件下总结出来的，他们仅分别适用于静电场、静磁场和缓慢变化的电磁场，不具有普遍适用性。因此麦克斯韦提出了一系列科学的假设和符合逻辑的分析： 假设1. 麦克斯韦针对将安培环路定理直接应用到时变电磁场时出现的矛盾，提出了位移电流的假说，对安培环路定理进行了修正，从而揭示了随时间变化的电场也要激发产生电场。 安培环路定理直接应用到时变电磁场时出现的矛盾为： 恒定磁场的安培环路定理的微分形式： 对上式两端同时取散度为： 而 ，故得，这是恒定电流的连续性方程，，它和电荷守恒定律相矛盾。因此，安培环路定律在时变场中是不成立的。 假设静电场中的高斯定律对时变场仍然成立，将其代入电荷守恒定律，得： 即 式中是电位移矢量随时间的变化率称为位移电流密度。与静态场的电流连续性方程相比增加了位移电流密度一项，这就解除了前面提到的矛盾现象。此时安培环路定理改为： （1） 其中是磁场的漩涡源，表明时变电场产生时变磁场。 假设2．是关于有旋电场的假设，麦克斯韦提出变化的磁场要产生感应电场，这个感应电场像库仑电场一样对电荷有力的作用，但它移动电荷一周所作的功不为0，因而它不是无旋场，而是有旋场。这一假设揭示了时变磁场要产生电场。 有法拉第电磁感应定律得穿过导体回路的磁通变化产生的感应电动势为： 导体内存在感应电动势表明导体内必然存在感应电场，因此，感应电动势可以表示为感应电场的积分，即 所以有 一般情况下，空间的总电场等于库仑电场与感应电场的叠加，即。 由于,故有 有斯托克斯定理知：代入上式得 即： （2） 这就是静止回路位于时变磁场中时，法拉第电磁感应定律的微分形式。 假设3 假定静电场中的高斯定理 （3） 对时变场仍然成立。 假设4. 磁通连续性原理在时变条件下成立 对于体电流密度为为的体分布电流，电流元为，则分布于体积V内的体电流产生的磁感应强度为 把代入上式得 再利用矢量恒等式 ，上式可写为 又因为“”是对场点坐标进行微分，而仅是源点坐标的函数，故有，于是有 两端取散度，并把代入得 （4） 由（1）、（2）、（3）、（4）得到麦克斯韦方程组，麦克斯韦方程组的微分形式描述的是任意一点场的变化规律: (a) 相应的边界条件为： (b) 而对于线性和各向同性的媒质存在如下本构关系： (c) 其中为介电常数；u为磁导率；把(c)分别对应代入(a)和（b）中各式得到 当空间存在电荷和电流（电源）时，麦克斯韦方程组在线性各向同性的媒质中的表示式为：