[工学]D11_2对坐标的曲线积分new.ppt

例4. 求 第十一章 曲线积分与曲面积分 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 第八章 第二节 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1) “大化小”. 把L分成 n 个小弧段, 所做的功为 F 沿 则 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 则有 用有向线段 上任取一点 在 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 3) “近似和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 记作 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 若 ? 为空间曲线弧 , 记 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 则 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 二、对坐标的曲线积分的计算法 特别是, 如果 L 的方程为 则 二、对坐标的曲线积分的计算法 对空间光滑曲线弧 ? : 类似有 二、对坐标的曲线积分的计算法 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 从点 的一段. 二、对坐标的曲线积分的计算法 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 从点 的一段. 解法2 取 y 为参数, 则 二、对坐标的曲线积分的计算法 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 则 二、对坐标的曲线积分的计算法 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). (2) 取 L 的方程为 则 解: 二、对坐标的曲线积分的计算法 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 二、对坐标的曲线积分的计算法 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 二、对坐标的曲线积分的计算法 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解(2) 原式 二、对坐标的曲线积分的计算法 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解(3) 原式 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 三、两类曲线积分之间的联系 * *