[工学]FEM_ch3_ 弹性力学平面问题的求解简介.ppt

第五节 用差分法求解平面问题 差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。 差分法简便易行，且总能求出解答。 差分法可配合材料力学，结构力学解法，精确地分析结构的局部应力 状态。 差分法优点： 缺点： (1) 对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。 (2) 差分法比较适用于平面问题或二维问题。 (3) 凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如Φ 的误为 ， 则应力的误差为 。 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 泛函相关知识普及： 泛函：函数的函数。 函数( ) 泛函 ( ) 自变量 自变函数或状态函数或宗量 因变量 因变量 自变量微分 自变函数变分 函数微分 泛函变分 如果： 则： 可能为y极值点 如果： 则： 可能为 极值曲线 函数 泛函 微分：同一状态下由于 坐标改变而引起的函数 改变。 变分：同一位置上由于 状态改变而引起的泛函 改变。 或 或 变分法则： 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 1 弹性体的外力功和外力势能 外力功：外力（面力和体力）在位移上所做的功 外力势能：外力做了多少功，就消耗了多少外力势能。 (1) 外力功与外力势能 (2) 应力功与形变势能 弹性体内部应力 会在相应产生的应变 上做功： 因为应力和应变均从0增长到 ， 故单位体积上，应力所做的功是: 泛函及变分 假设： 时外力势能为0，则： 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 对于平面应力 或平面应变 问题： 单位体积上应力所做的功为： 静力平衡 无速度变化 动能不变 恒温 无热能变化 应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，或形变势能，或应变能, 存贮于弹性体内部。 单位体积的形变势能，或称形变势能密度。 整个弹性体的形变势能(z向取单位长度)： 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 用形变表示的应变能密度： 用位移表示的应变能密度： 平面应变的相应公式 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 形变势能U的性质： U是形变或位移的二次泛函，不能用叠加原理； 应变或位移发生时，U总是正的，即 ； U的大小与受力次序无关； 对应变的导数等于对应的应力。 弹性体的总势能： 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 2 位移变分方程 取泛函为弹性体总势能 ，状态函数为位移函数 。 实际平衡状态的位移，必须满足： 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 第三条是求解实际位移的必要条件，而前两条是充分条件 (1) 实际位移 静力平衡条件 约束条件 用位移表示的应力边界条件（在 上); 位移边界条件（在　 上）。 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 (2) 虚位移状态 数学意义：位移函数变分 虚位移： 在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量。 虚位移应满足 上的约束边界条件，即： （在 上） 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。 当发生虚位移时，弹性体从实际位移状态进入虚位移状态： 实际平衡状态附近的一种邻近状态 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 (3) 在虚位移上弹性体的功和能 平衡状态： 设有平面问题的任一厚度的弹性体，边界条件： , 在外力 作用下处于平衡状态。 这时，弹性体内已存在： 和应变能 虚位移状态： 外力虚功：外力在虚位移上所做的功。 虚位移 虚应变 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 应力在虚应变上所做的虚功: 应变能变分: 外力虚功就等于外力功的变分，即外力功的增量。 外力功变分： 应力虚功就等于应变能的变分，即应变能的增量。 第六节 弹性力学中的能量原理，变分法 (4) 弹性力学中的变分方程 在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改