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[工学]《信息论、编码与密码学》课后习题答案
《信息论、编码与密码学》课后习题答案
云南民族大学 陈楠 1201113201
第 1 章 信源编码
1.1 考虑一个信源概率为{0.30，0.25，0.20，0.15，0.10}的 DMS。求信源熵
H（X）。
5
H( X) = −∑ p log ( p )
解： 信源熵 k 2 k
k=1
H(X)=-[0.30*(-1.737)+0.25*(-2)+0.2*(-2.322)+0.15*(-2.737)+0.1*
(-3.322)]
=[0.521+0.5+0.464+0.411+0.332]
=2.228(bit)
故得其信源熵 H(X)为 2.228bit
1.2 证明一个离散信源在它的输出符号等概率的情况下其熵达到最大值。
解： 若二元离散信源的统计特性为
P+Q=1 H(X)=-[P*log(P)+(1-P)*log(1-P)]
对 H(X)求导求极值，由 dH(X)/d(P)=0 可得
p
log = 0
1 − p
p
= 1
1 − p
1
p =
2
可知当概率 P=Q=1/2 时，有信源熵 H( X)max =1(bit)
对 于 三 元 离 散 信 源 ， 当 概 率 P= P = P=1/ 3 时 ， 信 源 熵
1 2 3
H ( X ) max = 1 . 585 ( bit ) ，
此结论可以推广到 N 元的离散信源。
1.3 证明不等式ln x≤ x−1。画出曲线 y = ln x和 y = x−1 的平面图以表明上述不
1 2
等式的正确性。
证明：
f(x) = ln x− x+1(x 0)
1
f(x) =′
x
′ ′
令f(x) = 0，x=1又有x 0∴0 x≤1时f(x) 0
此时f(x) ≤ f = 0
max
也即ln x≤ x−1
当x≥1时同理可得此时ln x≤ x−1
综上可得ln x≤ x−1证毕
绘制图形说明如下
可以很明确说明上述 Y=x-1
y
不等式的正确性。
1 x
Y=lnx
1.4 证明 I( X;Y) ≥ 0。在什么条件下等号成立？
n m
（I X；Y）=∑∑P(x, y )I(x, y )
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