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第五章 分析力学 §5.1 约束与广义坐标 （1）约束的概念和分类 1. 力学体系： 有相互作用的质点集。简称体系或系统，也即矢量力学中所讲的质点组。 2. 位形： 个质点组成的体系，其整个体系的空间位置用个坐标来描述，这个坐标的有序组称为体系的位形。位形是质点的位置概念在质点系中的扩展。 3. 约束： 力学体系中，常存在着一些限制各质点自由运动的条件，称这些条件为约束。 ○对约束的加深认识： 正因为存在着约束，故一般而言，体系的个坐标并不互相独立，而是存在着一些关系把它们联系着。 约束通常表现为力学体系中质点的坐标、速度和时间的方程。若个质点所形成的力学体系中受有个限制其位置的约束，那就有个表示这种约束的方程，因此，这时个坐标中就只有个是独立的。 例如：一个质点原有3个独立的坐标，如果受有曲面 （5.1.1） 的约束，那么独立坐标的数目就减为2个。因为如果已知、，则可由（5.1.1）式求出。 4. 约束的分类： 稳定约束:约束方程中不显含时间。形如: 稳定约束与不稳定约束： 不稳定约束:约束方程中显含时间.形如: 可解约束：约束方程呈不等式(包括等式)。形如： 可解约束与不可解约束： ≤0 不可解约束：约束方程呈等式。形如： 或 几何约束(又称完整约束)：约束方程中只含坐标、时间。形如： 几何约束与运动约束： 或 运动约束(又称微分约束)：约束方程中含坐标、速度、时间。形如： 考虑到上述分类中各概念间的包容性，可见微分约束方程的形式其实也就代表了约束方程的普遍形式，其它的只是其特例而已。对于由个质点组成的多粒子系统，约束方程的普遍形式表为 微分约束有时经过积分后可变为几何约束，如果不能积分，就属于不完整约束，不能用等式表示的可解约束是另一种不完整约束，除了这两种外，其它约束都是完整约束。约束作用即约束（反）力。 完整约束（即包括几何约束和可积分的微分约束）既可表成积分形式，又可表成微分形式： 积分形式： (1) 微分得 微分形式： (2) 上式（2）中左边为一全微分，式子是可积的。 为了更好说明完整约束，先推广一下：如果（2）式中左边为不可积，即左边不是全微分时，那么（2）式就不能有上述写法，只能更一般地（假如仍有所限制而为线性微分形式）写成 （3） 其中，，，均为的函数。也就是说，如果（3）式左边为全微分，即呈（2）的形式，则（3）式为完整约束条件，如果（3）式左边不是一个全微分，则不可积，则属于非完整约束。（3）式这样的约束称为线性微分约束。 5. 完整系和非完整系： 所受约束皆为完整约束的质点系称为完整系。反之，所受约束中只要有非完整的约束存在，则称为非完整系。 （2）广义坐标 前已提到，对于个质点的系统，如果有个几何约束 ，（） （5.1.7） 那么独立坐标就减少为个。在系统只受有几何约束的情况下，这些独立坐标的数目叫做力学系统的自由度。但对微分约束来讲，自由度的数目则可能小于独立坐标的数目（这时自由度被更一般地定义为系统的独立坐标变分的个数。这个定义对完整系及非完整系都适用。(参见郭士方《理论力学》下册P9）。 这时既然只有个坐标是独立的，若令，那么就可以通过式（5.1.7），把个不独立的坐标用个独立参数及表出，即 （） （5.1.8） 或 （） （5.1.9） 式中的叫做系统的拉格朗日广义坐标。 §5.2 虚功原理 （1）实位移和虚位移 1. 实位移： 质点由于运动实际所发生的位移，称为实位移，记为。 实位移的定量描述即：设质点按规律（例如这些规律为牛顿