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第三章 热传导方程的分离变量法
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数学物理方法
Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
豆福全
第三章 热传导方程的分离变量法
第三章 热传导方程的分离变量法
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第三章 热传导方程的分离变量法
引 言
上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究,它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究。
复习:
数理方程的导出步骤()
ⅰ 建坐标系
ⅱ 选物理量
ⅲ 找物理规律
ⅳ 写表达式
本章,我们先对热传导进行推导。
3.1 热传导方程
3.1.1热传导方程的导出
1. 物理模型
截面积为均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求热量的流动。
2.相关概念和定律
ⅰ相关概念
①热传导:由于温度分布不均匀产生的热传递现象。
设热量: 面积: 体积:
时间: 密度: 温度:,
②比热:单位物质,温度升高一度所需热量
③热流密度:单位时间流过单位面积的热量(Fourier实验定律)
,:导热率
④热源强度:单位时间,单位体积放出的热量(热源密度)
ⅱ用到的物理学规律
① Fourier实验定律(热传导定律):当物体内存在温度差时,会产生热量
的流动。热流强度(热流密度)与温度的下降成正比。即。
:热导系数(热导率),不同物质不同,。对均匀杆是常
数。负号表示温度下降的方向。
分量形式: ,,
一维问题:
②热量守恒(质量)定律:物体内部温度升高所吸收的热量(浓度增加
所需要的质量),等于流入物体内部的净热量(质量)与物体内部的热源所
产生的热量(质量)之和。
3分析
研究的问题: 热流流动是由温差造成,设为温度.
已知:,,常数
是一维问题
4研究建立方程
取轴与细杆重合,表示在点时刻的温度。
考虑任一段在时间热量情况
①流入面:
②流出面:
③热源产生:设有热源其密度为,杆内热源在段产生的热量为
④段温度要升高所吸收的热量
⑤ 根据能量守恒定律
流入段总热量与段中热源产生的热量
即
两边同除以
当,时,
, 其中,
同理 ,二维热传导方程为
三维热传导方程为
或
或
3.1.2
⒈初始条件
⒉ 边界条件提法有三种
ⅰ第一类边界条件:直接给出物理量在边界上的数值(边界上各点
的温度)。
,
,
ⅱ第二类边界条件:研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数
值。
,
或
,
已知通过细杆端点的热量,特殊情形 如 绝
热条件。
物理意义:把细杆端点处的截面用一种定点绝热的物质包
裹起来,使得在端点处,既无热量流出去,又无热量流进来。
ⅲ 第三类边界条件:物理量与外法向导数的线性组合。
已知杆端与某种介质接触,它们之间按热传导中的牛顿实
验定律进行热交换,相应的边界条件为,
:热导系数 ,:热交换系数
介质通过边界按 冷却定律散热:单位时间通过单位面积表
面和外界交换的热量与介质表面温度和外界温度之差成正
比。
设比例系数为,则
如在处,
3 .2 混合问题的分离变量解
3.2.1定解问题
有界杆的热传导现象
其中为已知函数。
分析:
求解:
第一步:分离变量
ⅰ.设热导方程具有如下分离变量解(特解)
ⅱ.将其代入泛定方程有,其中是常数。于是有
,
ⅲ 由边界条件有
当,则,
当,则
即本征值问题
第二步:求解本征值问题
上章已经证明只有当时,证本征值问题有非零解。
ⅰ.
ⅱ. 由
,
即特征值是,
ⅲ .本征函数是
第三步:求特解,并叠加出一般解
又由,,得
两边积分
其中是积分常数。于是
,
故一般解
第四步:确定叠加系数
由初始条件,有
两端同乘以,逐次积分有
于是
,
分析解答
由初始温度引起的温度分布可看作是由各个瞬间热源引起的温
度分布的叠加。
3.3 初值问题的付氏解法
引言:
上节求解混合问题时,空间坐标变动区间为。如考虑无界杆的热传导,
如何?
将等在上展成Fourier级数,再让区间无限扩大。
结果:在一定条件下,Fourier级数变成一个积分形式,称为Fourier积分。
3.3.1 Fourier积分
设定义在内,且在任一有限区间上分段光滑,则可
展开成Fourier级数
其中 ,
,
则
现设在上这时可积,即,则当时,
证,,,,,则
上式写成
,
它是关于的偶函数。
称为的Fourier积分
可以证明:及的连续点处,的付氏积分收敛于它在 的函数值。
Fourier积分还可写为
其中 ,
。
3.3.2热导方程的Ca
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