第三章热传导方程的分离变量法.doc

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第三章 热传导方程的分离变量法 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 13 页 数学物理方法 Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院 豆福全 第三章 热传导方程的分离变量法 第三章 热传导方程的分离变量法 PAGE 12 PAGE 11 第三章 热传导方程的分离变量法 引 言 上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究,它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究。 复习: 数理方程的导出步骤() ⅰ 建坐标系 ⅱ 选物理量 ⅲ 找物理规律 ⅳ 写表达式 本章,我们先对热传导进行推导。 3.1 热传导方程 3.1.1热传导方程的导出 1. 物理模型 截面积为均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求热量的流动。 2.相关概念和定律 ⅰ相关概念 ①热传导:由于温度分布不均匀产生的热传递现象。 设热量: 面积: 体积: 时间: 密度: 温度:, ②比热:单位物质,温度升高一度所需热量 ③热流密度:单位时间流过单位面积的热量(Fourier实验定律) ,:导热率 ④热源强度:单位时间,单位体积放出的热量(热源密度) ⅱ用到的物理学规律 ① Fourier实验定律(热传导定律):当物体内存在温度差时,会产生热量 的流动。热流强度(热流密度)与温度的下降成正比。即。 :热导系数(热导率),不同物质不同,。对均匀杆是常 数。负号表示温度下降的方向。 分量形式: ,, 一维问题: ②热量守恒(质量)定律:物体内部温度升高所吸收的热量(浓度增加 所需要的质量),等于流入物体内部的净热量(质量)与物体内部的热源所 产生的热量(质量)之和。 3分析 研究的问题: 热流流动是由温差造成,设为温度. 已知:,,常数 是一维问题 4研究建立方程 取轴与细杆重合,表示在点时刻的温度。 考虑任一段在时间热量情况 ①流入面: ②流出面: ③热源产生:设有热源其密度为,杆内热源在段产生的热量为 ④段温度要升高所吸收的热量 ⑤ 根据能量守恒定律 流入段总热量与段中热源产生的热量 即 两边同除以 当,时, , 其中, 同理 ,二维热传导方程为 三维热传导方程为 或 或 3.1.2 ⒈初始条件 ⒉ 边界条件提法有三种 ⅰ第一类边界条件:直接给出物理量在边界上的数值(边界上各点 的温度)。 , , ⅱ第二类边界条件:研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数 值。 , 或 , 已知通过细杆端点的热量,特殊情形 如 绝 热条件。 物理意义:把细杆端点处的截面用一种定点绝热的物质包 裹起来,使得在端点处,既无热量流出去,又无热量流进来。 ⅲ 第三类边界条件:物理量与外法向导数的线性组合。 已知杆端与某种介质接触,它们之间按热传导中的牛顿实 验定律进行热交换,相应的边界条件为, :热导系数 ,:热交换系数 介质通过边界按 冷却定律散热:单位时间通过单位面积表 面和外界交换的热量与介质表面温度和外界温度之差成正 比。 设比例系数为,则 如在处, 3 .2 混合问题的分离变量解 3.2.1定解问题 有界杆的热传导现象 其中为已知函数。 分析: 求解: 第一步:分离变量 ⅰ.设热导方程具有如下分离变量解(特解) ⅱ.将其代入泛定方程有,其中是常数。于是有 , ⅲ 由边界条件有 当,则, 当,则 即本征值问题 第二步:求解本征值问题 上章已经证明只有当时,证本征值问题有非零解。 ⅰ. ⅱ. 由 , 即特征值是, ⅲ .本征函数是 第三步:求特解,并叠加出一般解 又由,,得 两边积分 其中是积分常数。于是 , 故一般解 第四步:确定叠加系数 由初始条件,有 两端同乘以,逐次积分有 于是 , 分析解答 由初始温度引起的温度分布可看作是由各个瞬间热源引起的温 度分布的叠加。 3.3 初值问题的付氏解法 引言: 上节求解混合问题时,空间坐标变动区间为。如考虑无界杆的热传导, 如何? 将等在上展成Fourier级数,再让区间无限扩大。 结果:在一定条件下,Fourier级数变成一个积分形式,称为Fourier积分。 3.3.1 Fourier积分 设定义在内,且在任一有限区间上分段光滑,则可 展开成Fourier级数 其中 , , 则 现设在上这时可积,即,则当时, 证,,,,,则 上式写成 , 它是关于的偶函数。 称为的Fourier积分 可以证明:及的连续点处,的付氏积分收敛于它在 的函数值。 Fourier积分还可写为 其中 , 。 3.3.2热导方程的Ca

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