[工学]复变函数与积分变换第1章.ppt

例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图 1-4)。 图 1-4 例 1-8 图 解： 由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 例1-9 原点处点电荷q产生的电位移矢量 ，试求电位移矢量D的散度。 解： 例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 解： 根据散度定理知 而r的散度为 所以 1.4 矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 图 1-5 矢量场的环量 1.4.2 矢量场的旋度 1.4.3 斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 即 此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。 例1-11 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。 图 1-6 例 1-11 图 解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解： 矢量场A的旋度 * 第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 场的概念 1.2 标量场的方向导数和梯度 1.3 矢量场的通量和散度 1.4 矢量场的环量和旋度 1.5 圆柱坐标系与球坐标系 1.6 亥姆霍兹定理 1.1 场的概念 1.1.1 矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。 若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。 设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G［a, b］内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为 而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A (t)也可用其坐标表示为 其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。 1.1.2 标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。 在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述， 这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场φ(x, y, z)等。然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述， 因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 标量场φ(x, y, z)的等值面方程为 图 1-1 矢量场的矢量线 例1-1 求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。  解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程