[工学]安徽建筑工程学院计算结构力学2.ppt

第二章 功能原理 * 首页 上页 返回 下页 * 计算结构力学 1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂单元就更为困难只能求助于功能原理。 2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。 3、处理单元荷载。 4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。 5、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理)的等价性。 2-1 概述:学习功能原理的目的 一、基本知识 1、静力加载(比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能。 3、功能方程(前提：①静力加载；②无耗散功δQ=0)：在微小的δt 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变能：δW=δU。 4、总势能：结构的形变势能+荷载势能 　　　　Π=U+V 二、先修有关概念 1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓虚，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。 2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移态上所做的功恒等于零的那种约束。 3、虚功 δW*=F ·δu* 　　　　　　　 (1) 　虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无关。 2-2 虚位移原理 一、几个概念 4、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功)。 　　　　　　　　　　　 式中： 　　σ：力F所引起的应力(力态)； 　　 δ ε*：虚位移δu* 所引起的虚应变(虚设的位移态)。 (2) 　　虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功δW*等于虚变形功δU* (虚应变能，内力虚功)。 研究对象：实际的力态。 虚 设：位移态(满足变形协调条件)。 于是，虚功原理可表述为： 体系平衡 δW*=δU* 　　　　(3) 其中Δ：在虚设的任一几何可能的位移态上。 二、虚位移原理及其证明 证明： 以最简单的杆件结构为例，如图： 杆端力：结点对单元的作用力。 结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。 杆端力和结点力是作用力和反作用力。 对结点1，由平衡条件 ΣX=0: P1-F12=0 对结点2，由平衡条件 ΣX=0: P2-F21-F23=0 ’ ’ ’ ’ ’ (4) 外力虚功为： 式中： 　　δ——表示微小，* ——表示虚设。 虚应变能为： 注意:虽然是就上述特殊情况进行的证明，但可推广到其它的受力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。 关于虚位移原理的讨论： 1、仍然是一个(虚功)体系，两个状态； 2、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设)的几何可能上； 3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变形协调； 4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。 2-3 虚应变能与外力虚功 　　利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能δU*和各种荷载的外虚功δW*，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表达式。 一、虚应变能 　　这里，“*”表示“虚设”，δ为一阶变分算子，“δ”与“d”的运算规律相同，意义类似，δ亦可看成是“微小”。 3、虚应变能(内力虚功) 1、虚位移 2、虚应变 忽略剪切应变 (5) (6) 1）、轴向拉压 　　实际的力态σx；虚设的位移态δu*，所引起的虚应变为 (7) 2）、弯曲 实际的力态Mz；虚设的位移态 则 (8) 对于三维应力状态。设实际的力态为： 虚设的位移态为： 则虚应变能为: 对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为： (9) 与前述单独变形的结果一致。 1、集中荷载情况 实际的力态Pi 虚设的位移态 则 2、分布荷载情况 实际的力态q(x) 虚设的位移态 　　　　　则 3、既有1又有2的情况，则δW*为1与2之和。 (10) (11) 二、外力虚功 2-4 虚位移原理的应用 　　应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。 　　虚位移原理的研究对象是实际的力态，实际力态的平衡关系以及实际力态中力与位移之间的关系。为此，需任意虚设一位移态，此位移态一定要几何可能。 杆件位移态的几何可能条件 主要应用： 1、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节重点介绍； 2、求结构内力与位移，注意方法过程，详请参考结构力学教程，运用中应特别注意δu*、 δv*为任意虚设的位移，u、v为实际的位移，两种位移应独立无关。 　　式中h