线性代数公式必背 完整归纳清晰版　.doc

线性代数必背公式(完全整理版)　　　行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；　　　　　　和的大小无关；　　　　　　；　 代数余子式和余子式的关系：　　 设行列式：　　　上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；　 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；　　 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；　　 将主副角线翻转后，所得行列式为，则；　 行列式的重要公式：　 ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；　　　；　 ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；　　 ④、和：副对角元素的乘积；　 ⑤、拉普拉斯展开式：、　 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；　　　阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；　 证明的方法：　 ①、；　　 ②、反证法；　　　，证明其有非零解；　　 ④、利用秩，证明；　　　是阶可逆矩阵：　　 （是非奇异矩阵）；　 （是满秩矩阵）　　 的行（列）向量组线性无关；　　 齐次方程组有非零解；　　　，总有唯一解；　　 与等价；　　 可表示成若干个初等矩阵的乘积；　　 的特征值全不为0；　　　是正定矩阵；　　　的行（列）向量组是的一组基；　 是中某两组基的过渡矩阵；　　　阶矩阵： 无条件恒成立；　　　　　 　　 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；　　 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：　　　，则：　 Ⅰ、；　 Ⅱ、；　　 ②、；（主对角分块）　 ③、；（副对角分块）　　 ④、；（拉普拉斯）　　 ⑤、；（拉普拉斯）　　 3、矩阵的初等变换与线性方程组　 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；　　　等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；　 对于同型矩阵、，若；　 行最简形矩阵：　 ①、只能通过初等行变换获得；　 ②、每行首个非0元素必须为1；　　 ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；　　　，则可逆，且；　　 ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；　 ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；　　　，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 　　 ③、对调两行或两列，符号，且，例如：；　　 ④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；　 ⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；　 矩阵秩的基本性质：　　 ①、；　　　；　　　，则；　　 ④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）　 ⑤、；（※）　　　；（※）　　　；（※）　 ⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）　　　的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；　　 Ⅱ、　 ⑨、若、均为阶方阵，则；　　　行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；　　　的矩阵：利用二项展开式；　 二项展开式：；　　 注：Ⅰ、展开后有项；　　 Ⅱ、　　　；　　 　　　；　　　；　　 ③、、　 关于矩阵秩的描述：　　　，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）　 ②、，中有阶子式全部为0；　 ③、，中有阶子式不为0；　 线性方程组：，其中为矩阵，则：　　 ①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；　　　与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；　　 线性方程组的求解：　　　进行初等行变换（只能使用初等行变换）；　 ②、齐次解为对应齐次方程组的解；　　　个未知数个方程的方程组构成元线性方程：　 ①、；　　 ②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）　　　（全部按列分块，其中）；　　 ④、（线性表出）　 ⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）　　　　　　个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；　　 个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；　　 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；　 ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）　　　是否有解；（线性方程组）　 ③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）　 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)　　　；(例15)　 维向量线性相关的几何意义：　 ①、线性相关 ；　　 ②、线性相关 坐标成比例或共线（平行）；　 ③、线性相关 共面；　 线性相关与无关的两套定理：　 若线性相关，则必线性相关；　　 若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）　　　维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：　 若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）　　 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；　　 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；　　 向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）　　　能由向量组线性表示　　 有解；　　　（定理2）　 向量组能由向量组等价（定理2推论）　　 方阵可逆存在