线段垂直平分线的性质定理.ppt

A B PA=PB P1 P1A=P1B …… 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 P M N C 动手操作：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；认真观察PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ * 求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 A B P M N C 已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB，点P在直线MN上. 求证： PA=PB 证明：∵MN⊥AB （已知） ∴ ∠ PCA= ∠ PCB ＝90°（垂直的定义） 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC （已知） ∠ PCA= ∠ PCB （已证） PC=PC （公共边） ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS） ∴PA=PB * 线段的垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 几何语言: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB N A B P M ∵ MN⊥AB于C, AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB 或 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆命题 求证：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. A B P C 已知：如图， PA=PB 求证： 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：过点P作PC ⊥AB 于点C,则 ∠ PCA= ∠ PCB＝90° ∴ ΔPAC和Δ PBC都是直角三角形。 在 RtΔPAC和RtΔPBC中， PA=PB （已知） PC=PC （公关边） ∴ RtΔPAC ≌RtΔ PBC(HL) ∴AC=BC ∴直线PC垂直平分线段AB 即点P在线段AB的垂直平分线上 和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆命题 线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相 等的所有点的集合 逆定理可以用来证明点在直线上(或直线经过某一点). 性质定理可以用来证明两条线段相等（或三角形是等腰三角形）. 已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 例1 A B C O N 证明：连结OB。 ∵ ON是AB的垂直平分线（已知） ∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。） 练习 1． 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA＝PB． 提示：连结AB, 作AB的垂直平分线，交直线L于P,点P就是所求的点。 2． 如图，已知AE＝CE，BD⊥AC,垂足为点E。求证：AB＋CD＝AD＋BC． 证明：∵ AE＝CE， BD⊥AC，垂足为点E ∴BA=BC， DA=DC(线段的垂直平分线 上的点到这条线段的两个端点的距离相等) ∴AB+CD=AD+BC 3． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上． 证明：∵ BD＋AD＝BC BD+CD=BC ∴AD=CD ∴点D在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) 1.在△ABC中，∠ACB=90°，BD=4cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____ 4cm 2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm; (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______. 10 200 拓展练习： 3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______. 700或200 拓展练习：