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细说函数的概念 1 变量之间的关系 不同的事物的变化过程中，有些量的值是按某种规律在变化，有些量的值是始终不变的.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 现实生活中有很多这样的例子，这里举一例供参考.例如，汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，在这一过程中，速度60km／h是常量，路程与时间是变量． 2 函数的概念 Ⅰ.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 例如：汽车在高速公路上以每小时100千米的速度行驶，它走过的路程s（千米）随时间t（时）变化的关系式是s=100t，路程s的数值是由时间t的数值确定的，s与t之间的对应关系如下表所示： t/时 1 1.5 2 2.5 3 … s/千米 100 150 200 250 300 … 由上表可知：s和t具有一定的对应关系，对于变量t的每一个确定的值，都有惟一确定的s的值与之相对应，因此，我们说变量t是自变量，变量s是t的函数． Ⅱ.函数的定义中包括三个要素：（1）自变量的取值范围；（2）两个变量之间的对应关系；（3）后一个变量被惟一确定而形成的变化范围． 说明 函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊对应关系，必须是“对于x的每个值，y都有惟一的值与之对应”. 例如：“一个数与它的绝对值”，若一个数用x表示，它的绝对值用y表示，其中x可以取任意实数，即自变量的取值范围是全体实数，对应关系是一个数与它的绝对值对应，一个数的绝对值是这个数的函数． 又如：式子y=x2，变量x每取一个值，y都有惟一的一个值与之对应，所以说y是x的函数；式子y2=x中，尽管y与x之间有一种关系，但由于变量x在x＞0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与之对应，所以说y不是x的函数． 注意（1）自变量与函数都用什么字母表示无关紧要，自变量可用x表示，也可用t，u，p…中的任何一个字母表示，函数可用y表示，也可用s，v，q…中的任何一个表示. （2）在我们所研究的范围内，两个变量之间虽然有一定的关系，但却不符合函数中的对应关系，也就是说，这种关系不是“惟一确定”的关系，那么这两个变量之间就不存在函数关系. 例如：一块种植小麦的土地，收获量与施肥量之间有一定的关系，但它们之间不存在“惟一确定”的对应关系，如果施肥量为每亩5千克，那么收获量是多少不惟一确定，因此，收获量与施肥量之间不存在函数关系. （3）函数的定义中指出“……对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与之对应”，但对于自变量x的每一个不同的值，y不一定都是不同的值与之对应. 3 函数的三种表示形式 Ⅰ.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法．它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值．但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌． 例如：市场上猪肉的价格为每千克12元，那么重量与金额的函数关系列表如下： 重量/千克 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.5 2 2.5 3 金额/元 2.4 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 12 18 24 30 36 Ⅱ.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法．它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确． 例如：长春市某天气温随时间变化的图象如图11－1所示，从图象上能看出温度随时间变化的情况，时间是自变量． Ⅲ.解析法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法．它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有函数． 例如：正方形的面积用S表示，正方形的边长用a表示，则正方形的面积公式为S=a2；若周长用P表示，则周长的公式为P=4a，这就是表示正方形的边长与面积和周长的函数关系，其中正方形的边长a是自变量，面积S和周长P是因变量． 4 函数关系式 Ⅰ.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式. Ⅱ.我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念： （1）函数关系式是等式．例如：y=2x+3就是一个函数关系式，我们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式． （2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数．例如：y=2x2+3中，y是x的函数，x是自变量． （3）书写函数关系式是有顺序的．例如：y=x-