[工学]平面问题的有限单元法.ppt

5.2.3 两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。 平面应力问题 平面应变问题 平面应力问题 厚度为 t 的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有： 平面应变问题 一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。 由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。 5.3 平面问题的有限单元法 有限单元法的概念 有限单元法的计算步骤 单元位移函数 单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 单元载荷移置 边界约束条件的处理 （由例子可知）有限单元法的基本思路： (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 (2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。 (3) 将结点的位移与结点的力联系起来。 (4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。 (5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。 5.3.1 单元与结构离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。 一维问题 杆单元、梁单元 平面问题 三角形单元、四边形单元、曲边单元等 空间问题 四面体单元、六面体单元、曲面六面体单元等 这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。 单元划分的原则： 1）各相邻单元体必须同边、同顶点； 2）结构厚度或弹性常数突变处应作为单元间的分界线； 3）单元的大小主要根据计算精度和计算机的运算速度确定。 单元刚度矩阵的性质 1）单元刚度矩阵是对称阵 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。 3）单元刚度阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚度阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解只能得到唯一的节点力解。 得到了单元刚度矩阵后，要将单元组成一个整体结构，根据结点载荷平衡的原则进行分析，即整体分析。 整体分析包括以下4个步骤： 建立整体刚度矩阵， 根据支承条件修改整体刚度矩阵， 解方程组，求出结点的位移， 根据结点位移，求出单元的应变和应力。 单元（2）的单元扩大矩阵的分块矩阵形式如下，只列出非零的分块： 5.3.5 单元节点载荷移置 将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。 在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。 总刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵，因此要求得唯一解，必须利用边界条件对总刚度方程进行处理，消除总刚度矩阵的奇异性。 边界约束条件的处理实质是消除结构的刚体位移，以求得节点位移； 边界条件也是假定在节点上受到约束。节点位移为零时，称为零位移约束；否则，称为非零位移约束（弹性支承，支座的沉陷）。 位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。 由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时[K]、{R}中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱[K]、{R}的储存顺序。 引入约束的方法常有： 1）降阶法 2）对角元素置1法 3）对角元素乘大数法 5.4 轴对称问题的有限元法 如果弹性体的几何形状、边界条件和载荷都对称于某一轴线，则弹性体受载时的位