[工学]振动分析基础 第三章1.ppt

作业 3.1 如图1所示扭转系统。设 。 （1）写出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （2）写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 解：（1）系统的刚度矩阵和质量矩阵 根据题目已知条件，易知系统的刚度矩阵为 即 于是系统的固有振型为 3.2题 求图所示系统的固有频率和振型。设 并画出振型图 解：（1）系统的刚度矩阵和质量矩阵 根据题目已知条件，易知系统的刚度矩阵为 系统为无阻尼自由振动的频率方程为 于是系统的固有振型为 其中，常数 和 已分别并入常数 和 中。 和 以及相角 和 的值将由初始条件决定。 后面将看到，一般情况下，系统的一般运动将通过两个固有振型的迭加得到，即： (3.33) 为方便，将振型向量 和 写入一方阵： 矩阵 称为系统的“振型矩阵”或“模态矩阵”。 同时，引入向量： 系统的一般运动(3.33)可写成简洁的矩阵形式： 例3.1 图示系统中， ， ， ， ，求出系 统的固有振型(模态)。 解：利用方程(3.12)写出系统刚度矩阵 中的元素： 于是，由方程(3.29)可得到频率方程为： 求出频率方程的根： 得到系统固有频率为： 将 和 代入比值 和 的方程(3.31)： 于是系统固有振型为： 这里，常数 和 的值都假定为“1”。这样并不会影响系统的固有振型(即位移形状)。 画出振型图，如下页所示。 第二个振型图中，有一位移零点，称为“结点”。 结点(node) 第一振型 第二振型 系统的质量矩阵为 （2）系统为无阻尼自由振动系统，取 分别为描述 运动的广义坐标，利用线性代数的方法求解系统的频率方程为 固有频率为 于是得到比值 系统的质量矩阵为 * * 3.1 概 述 第 三 章 两 自 由 度 系 统 两自由度系统是属于多自由度系统的一种特殊情况，也是多自由度系统中的最简单的情况。 将两自由度系统单独作为一章。首先，可以对两自由度系统进行独立的讨论；其次，也是最重要的，即是通过本章内容，为后面进一步学习多自由度系统打下基础。 自由度：完全描述系统运动所需要的独立坐标的个数。 已经知道，如果给予单自由度无阻尼系统某一初始激励，那么系统由此产生的运动可称为“固有振动”，即单自由度系统以其固有频率进行的自由振动。而对于多自由度系统来说，其固有振动的概念却与单自由度系统不尽相同，区别在于： 单自由度系统的固有振动：是指单自由度系统以其固有(自然)频率进行的振动； 多自由度系统的固有振动：是指多自由度系统振动过程中的某种“位移模式”，或称“位移形状”。 另外，对于多自由度系统，其位移形状也不只一种，而是具有一定的数目，这些位移形状被统称为系统的“固有振型”。并且对于不同的初始激励，多自由度系统可按照其固有振型中的任何一种进行振动。 3.2 两自由度系统的运动方程 考虑下图3－1所示的，具有粘性阻尼的两自由度系统： 图3－1a. 两自由度阻尼系统 图中， 和 分别表示两个质量 和 在任意时刻 的位移。这里需要假定位移足够小，以确保系统在线性范围内运动。 和 分别为作用在两个离散质量上的外力。 对两个离散质量，分别应用牛顿第二定律，写出两自由度系统的运动微分方程组： (3.1) 整理后，得到： 图3－1b. 两自由度阻尼系统离散图 (3.2) 显然，方程组(3.2)中的两个方程相互关联的。因为第一式中包含了 和 ，第二式中包含了 和 。 可以看到，速度的耦合项的系数为 ，位移耦合项的系数为 。所以，质量 和 的运动必将相互影响，除非当系数 时，方程(3.2)的两式才彼此无关。但此时，方程表示的已不再是两自由度系统，而是两个完全独立的单自由度系统。 我们这里把由联立的方程所表示的系统运动称为是“耦合”的，而把彼此相关的项称为“耦合项”。方程(3.2)这种情况中，耦合项分别为 、 、 、 。 引进矩阵形式的表达： (3.3) 由方程(3.2)的系数组成的常数矩阵 ， 和 分别称为系统的“质量矩阵”、“阻尼矩阵”和“刚度