[工学]控制系统计算机仿真5.ppt

第五章 系统时间响应和动态仿真 5.2 基于数值积分的连续系统仿真 初值问题的数值解，就是（1）在给定的初值下的解在一系列离散点  概念： 单步法和多步法：单步法是指计算某时刻数值yk+1，只需前一时刻tk有关信息，它是一种能自启动的算法。多步法是指计算某时刻数值yk+1需要tk，tk-1时刻有关信息，它是一种不能自启动的算法。 显式法和隐式法：显式是指计算yk+1时所需数据均已算出。隐式是指计算yk+1的算式中含有tk+1时刻的数据。因此在使用隐式公式中，需要用另一公式估计这里未知数据，然后用隐式公式进行迭代，这叫预估－校正法。显然这种方法不能自启动。 定步长和变步长：定步长为积分步长h在仿真运行过程中始终不变。而积分步长在仿真运行过程中自动修正改变为变步长。 欧拉法 （4）整体截断误差 整体截断误差是个积累误差，计算繁杂。但有如下结论：如果一个方法的局部截断误差为 二 梯度法 三 龙格－库达法 四 阿达姆斯(Adams)法 阿达姆斯隐式积分公式(Adams-moulton公式) 预估－校正公式(Adams-Bashforth-Moulton公式) 5.2.2 数值积分方法的选择 5.2.3 微分方程数值积分的矩阵分析方法 5.2.4 数值积分方法的MATLAB函数 ODE45为一种显式R-K(4，5)公式，它属于单步法，即计算y(tm)的值，只需要前一时刻y(tm-1)的值。变步距数值计算，误差估计为Dorman-Prince公式。通常为首先选用的最好函数，用于求解非刚性微分方程。对于大多数问题能获得满意的解。 ODE23为一种显式R-K(2，3)公式，采用Bogacki-Shampine公式，它也属于单步法，变步距，适用于求解非刚性微分方程。在允许计算误差较大和解具有轻微刚性方程时效果比ODE45更好。 ODE113为变阶Adams-Bashforth-Moulton PECE算法，适用于求解非刚性微分方程，在允许误差较严格的场合，它比ODE45更有效：它属于多步法，需要前几步值计算当前值。 ODE15s是基于数值微分公式(NDFs)变阶变步距算法，它常比反向差分公式(BDFs)即Gear算法更有效。ODE15s函数允许在两种方法之间进行选择。它属于多步法，适用于刚性微分方程。当所求微分方程是刚性方程或用ODE45函数求解失败情况下，可尝试使用ODE15s函数求解。 ODE23s基于二阶修正的Rosebrock公式的一种算法。它属于单步法，因为在计算精度不高场合下，比ODE15s更有效。若在使用函数ODE15s无效情况下，可尝试使用ODE23s来求解某些刚性微分方程。 ODE23t采用“自由插值”实现梯度规则算法，适用于存在中等刚性微分方程并要求解无数值衰减的情况。 ODE23tb TR-BDF方法的一种实现．即隐式RK法。第一阶段采用梯度法(TR)，第二阶段采用二阶BDF公式。结构上，两个阶段采用相同的迭代矩阵。 5.4 系统仿真的MATLAB函数 二 脉冲响应仿真函数 三 初始状态响应仿真函数 四 信号发生器和任意输人响应函数 隐式Adams法具有较高精度，但要提供首次估值，这可以由显式Adams公式来完成，称为“预估”。然后，用隐式Adams公式进行迭代运算，直至达到一定精度要求为止，这称为“校正”。 Y(i)m+1为ym+1的第i次迭代计算结果，或者将上式差分展开和整理并项后得 这里 （34） （35） （36） 式中，y(i)m+1为函数f(t，y)的第(m+1)时刻点的迭代值。 例如，当r=3时，预估－校正公式为： ，（37） ，（38） ，（39） ，（40） 一 计算精度 数值积分法的离散数值解只是精确解的近似，必然存在误差。数值积分计算的误差来自两个方面：一是舍入误差；二是局部截断误差。 舍入误差是由于计算机的位数有限，计算时必然舍去精确值的某个小值而引起的误差。舍入误差每次计算时均会发生，因此计算次数增加，会使舍入误差的积累值增大，舍入误差和计算步长h成反比。因为过小的计算步长会引起汁算次数增加，从而使舍入误差增大。 局部截断误差是由积分方法和阶次的限制而引起的误差。 数值积分计算的综合误差为舍入误差和局部截断误差之和，如图3可见，存在一个最优的积分步长h，使计算误差e最小。 图3 误差与积分步长 积分步长的选择与控制 积分步长h选择应在保证数值积分计算稳定性和精度前提下，尽可能选择较大的积分步长，以减少仿真计算次数，缩短仿真时间。 积分步长选择还与被仿真系统的快速性有关，有一些推荐的经验公式，如 tr为系统阶跃响应上升时间；wc为系统幅值穿越频率。 或 ，（41） ，（42） 数值积分计算时，积分步长有固定步长和变步长两种工作方式。