[工学]数值分析第一章 绪论_10.ppt

例：按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数： 187.9325 , 0 , 2.7182818 ， 8.000033 解：按照定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是 187.93 0.037856 2.7183 8.0000 注意5位有效数字近似数是8.0000而不是8 注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123?105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！ 例： 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。 1415 . 3 ; 897932 1415926535 . 3 = = p* p L L p 有 位有效数字，精确到小数点后第 位。 证明： 10 5 0 10 5 0 * and 10 31415 0 4 1 3 1 p* \ * = * - × = - - . . π| | π , . π* Q 4 3 有效数字与误差限的关系 在m相同的情况下，有效位数越多，绝对误差限越小 有效数字与相对误差限的关系 用(3.1)表示的近似数x*，若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为 反之，若x*的相对误差限 则x*至少具有n位有效数字 ?有效数字与相对误差的关系P6定理1 ? 有效数字 ? 相对误差限 已知 x 有 n 位有效数字，则其相对误差限为 ? 相对误差限 ? 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 则 可见 x 至少有 n 位有效数字。 例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 ? 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足 已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 ? log6，即 n ? 6，应取 ? = 3.14159。 两个近似数x1与x2，其误差限分别为 ，它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为 ?数值运算的误差估计 §4 函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/ 问题：对于 y = f (x)，若用 x*取代x ，将对y 产生什么影响？ 分析e (y *) = f (x*) ? f (x) e (x *) = x* ? x Mean Value Theorem = f ’(? )(x* ? x) x * 与 x 非常接近时，可认为 f ’(? ) ? f ’(x *) ，则有： |e (y *)| ? | f ’(x *)|·|e (x *)| 即：x产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x *)|倍。故称| f ’(x *)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */. 相对误差条件数 /* relative condition number*/ f 的条件数在某一点是小\大，则称 f 在该点是好条件的 /* well-conditioned */ \坏条件的 /* ill-conditioned */。 例:计算 y = ln x。若 x ? 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ? 解：设截取 n 位有效数字后得 x* ? x，则 估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系 不知道怎么办啊？ x 可能是20.#，也可能是19.#，取最坏情况，即a1 = 1。 ? n ? 4 对于多元函数的误差与误差限的求法： 当f为多元函数时，如计算A=f(x1 ，x2 ，…xn)。 设x1，x2 ，…xn的近似值是x1*，x2* ，…xn* ，则A的近似值A*=f(x1* ，x2* ，…xn* )，于是函数A的误差e(A*)由泰勒展开得 例：已测得某场地长 的值为 ，宽 的值为 ，已知 ， 。 试求面积 的绝对误差限与相对误差限。 解：因 ， ， ，由刚才的公式可知 其中 ， 而 ， 于是绝对误差限 相对误差限 §5 几点注意事项 /* Remarks */ 1. 避免相