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有限元分析—— 基础知识 目录 有限元基础 ANSYS WORKBENCH 1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 有限元分析是随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种现代数值分析方法。它是50年代首先在连续力学领域-飞机结构静、动态特性分析中应用的一种非常有效的数值分析方法，随后很快就广泛的应用于热传导、电磁场、流体力学等连续性问题求解。 有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 图2-1是用有限元法对三维实梁的切片进行的变形和应力分析，其中图2-1是切片的有限元模型。在图2-1中采用8节点体单元将梁切片划分成为网格，这些网格习惯上称为单元。网格间相互连接的交点成为节点。网格和网格的交线称为边界。 从图2-1上可知，模型上节点总数是有限的，单元数（网格数）也是有限的，因此成为“有限元法”。这就是“有限元”一词的由来。有限元法分析的思路和作法可以归纳为以下几点： 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，主要表现在以下几个方面： ? 增加产品和工程的可靠性 ? 在产品的设计阶段发现潜在的问题 ? 经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本 ? 缩短产品投向市场的时间 ? 模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费 有限元理论基础 杆系结构有限元 平面结构有限元 三角形应变单元 矩形双线性单元 收敛准则 多项式位移模式阶次的选择 六结点三角形单元、十结点三角形三次单元 四结点四边形等参单元 八结点四边形等参单元 空间与轴对称结构有限元 四面体常应变单元 四面体等参数单元 八结点六面体等参数单元 二十结点六面体等参数单元 轴对称三角形单元 轴对称等参数单元 板的弯曲有限元分析 薄板弯曲理论基础 矩形12自由度单元 三角形单元 广义变分原理 虚力原理与最小余能原理 泛函及其变换格式 含可选参数的广义变分原理 第1章 有限元法绪论 第1节 概述 Clough--The finite element method 起源: 50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner ,Clough 60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域 实质: 对力学模型进行近似数值计算的方法 将无限自由度问题变成有限自由度问题 分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析 整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理 杆系结构 学习方法:与矩阵位移法对比—相同与不同之处 了解基本原理,各种方法的共性与实质 通过自编程序进一步熟悉原理 连续体 应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS, 各种专用程序 弹性力学基本方程 一、平衡方程 二、几何方程 三、本构关系 四、协调方程 五、边界条件(应力,位移) 位移 应力 弹性力学基本方程—矩阵表示 位移列阵 体积力列阵 应力列阵 应变列阵 表面外法线方向余弦矩阵 微分算子列阵 表面力列阵 已知位移列阵 二、几何方程 三、本构关系 四、协调方程 五、应力边界条件 一、平衡方程 位移边界条件 虚位移原理 弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条件的虚位移 ，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。 总虚变形功： 对于平面问题： 虚位移原理 总外力虚功： 最小势能原理 在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。 总 势 能： 即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。 最小势能原理 形变