[工学]概率论与数理统计71.ppt

第7章 参 数 估 计 统计推断是根据样本所提供的信息对总体的特性作出种种推断。 参数估计是统计推断的重要问题之一，它是在总体的分布类型已知时，利用观测数据对总体中的未知参数进行估计． 本章学习总体参数的两种估计方法，点估计和区间估计． 7.1 点估计 7.1.1 点估计的概念 所谓点估计，就是用来自总体X的观测数据，计算出一个数值（点）来估计总体的未知参数的值． 定义7.1 设总体X的分布函数F(x；?1，?2，…，?m)的形式已知，但其中含有一个或多个未知参数：?1，?2，?，?m，又设X1，X2，…，Xn为总体的一个样本，x1，x2，…，xn是样本观测值，构造的m个统计量： 用 的观测值 作为未知参数?i的近似值的方法称为点估计法． 称 为未知参数?i的估计量， 称 为未知参数?i的估计值． 在不会混淆的情况下 和 均可称为?i的估计. 7.1.2 矩估计法 前面讲到可以用 的观测值来估计总体均值? = E(X)的值，其实就是用样本的一阶矩来估计总体的一阶矩，由辛钦大数定理，易见其合理性． 事实上，根据大数定律，若总体X的k（k = 1，2，…）阶矩?k = E(X k)存在，可用样本k阶矩 来近似总体k阶矩，这种用样本矩去估计总体相应矩的方法，即是所谓的矩估计法． 7.1.2 矩估计法 一般地，若总体的分布中有m个参数?1，?2，…， ? m，显然，如果总体的k阶矩?k = E(X k)存在的话，必依赖这些参数，即 若上述关于?1,?2,…,? m的方程组有解， 记为 按照用样本矩近似总体相应矩的原则，便可得到 的估计量 i=1,2,…,m, 由于A1,A2,…,Am均为样本X1,X2,…,Xn的函数， 不妨将上式记为 i=1,2,…,m 7.1.2 矩估计法 称 是的矩估计量，如果样本观测值为x1，x2，…，xn，称 为 的矩估计值．这里实际上给出了求参数的矩估计的具体做法． 【例】设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，X1,X2,…，Xn是来自总体X的样本，求a,b的矩估计量. 解：已知分布中含有两个未知参数，故令 由于X服从[a,b]上的均匀分布，所以 7.1.2 矩估计法 【例】设总体X的均值? 和方差? 2都存在，但? 和? 2均未知，求? 和? 2的矩估计量． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为 ?1 = E(X) = ? ?2 = E(X 2) = D(X) + [E(X)] 2 = ? 2 + ?2 由上面两个方程解出待估参数? 和? 2： 7.1.2 矩估计法 用样本的的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到? 和? 2的矩估计量分别为 7.1.2 矩估计法 本例说明和分别为任意总体X的均值和方差的矩估计量，即对任意总体X有： 7.1.2 矩估计法 容易得到下面几个常用分布中参数的矩估计： (1) ，由于 ， ，所以? 和? 2的矩估计量分别为 和 ． (2) ，由于 ，所以 (3) ，由于 ，所以 (4) X～B(m，p)，其中m已知，由于 ，所以p的矩估计为 7.1.2 矩估计法 【例】设一大批产品的合格率是p，每次从中抽出10件进行检验，共抽15次，每次抽出的10件中合格品的个数记录如下，求合格率p的矩估计值． 8