[工学]点集拓扑学-集合论初步.ppt

教 材;哥尼斯堡 七桥问题 ; 哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步; 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家 欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。 ;Euler示性数;四色问题 ; 数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。;M?bius带; “麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。 ;拓扑的来源;例子： 设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。 我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。 当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸和压缩就是拓扑变换。; 在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之间的关系总是不圆满的。; 从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空间实体的空间结构关系。 研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将是十分重要的。;黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 ; 拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两个分支：; 第一章 预 备 知 识;本章教学基本要求;一. 关系; 设X，Y ??两个集合．如果R是Descartes积X×Y的一个子集，即 ．;两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是X×Y 本身，另一个是空集;如果 ,则X 的子集 是集合B的象 ;3. 关系的相关定理;定理2. 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y到集合Z的一个关系．则对于X的任意两个子集A和B，我们有：;4. 关系的推广;二. 等价关系;说明;例2. 设p是一个素数，在整数集合Z中定义关系 ;定义7. 集族 :; 定理3. 设R是非空集合X中的一个等价关系.则： ;三. 映射;说明;F的值域有定义，并且它就是F(X)． (F(X)不一定充满Y);定义9. 设X 和Y 是两个集合，f : X→Y． ; 定理4. 设X，Y和Z都是集合．如果: F：X→Y和G：Y→Z，则:;特殊的映射:; 定理5. 设X和Y是两个集合．又设f :X→Y．如果f是一个一一映射，则 也是一个一一映射,且有: ;内射和自然投射; 定义12. 设 从笛卡儿积 　 ;Good