大学高等数学-15方向导数与梯度-极值与最值-二元泰勒公式-最小二乘法和习题讲解.pptxVIP

第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为,  ) 的方向导数为 特别: • 当 l 与 x 轴同向 • 当 l 与 x 轴反向 向角 例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 在点P 处沿 求函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向. 3. 梯度的基本运算公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证: 试证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、物理意义 函数 数量场 (数性函数) 场 向量场(矢性函数) 可微函数 ( 势 ) 如: 温度场, 电位场等 如: 力场,速度场等 (向量场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 试证 证: 利用例4的结果 这说明场强: 处所产生的电位为 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 • 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为 • 二元函数 在点 处的梯度为 3. 关系 方向导数存在 偏导数存在 • • 可微 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角  . 2. P73 题 16 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 1. (1) 在点 解答提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M (1,1,1) 处切线的方向向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P73 题 16 P51 2，3，6，7，8，9，10 作业 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 (92考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数 提示: 则 (96考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题