[工学]理论力学课件-动量矩定理1.ppt

1. 考虑圆盘B ，受力如图b所示，根据对质心的动量矩定理 2. 考虑杆轮系统，受力如图c所示,应用对固定点O的动量矩定理，计算轮B动量矩时使用式 ?解： LO = LC + rC× p 得 ωB B A m2g FAx FAy (b) O θ B A m2g m1g FOy FOx (c) 3. 运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系统的摆动也不影响圆盘的转动。 微幅振动时的运动规律为 ωB B A m2g FAx FAy (b) O θ B A m2g m1g FOy FOx (c) ? 非耦合运动! 例题 12-10 起重装置由匀质鼓轮D（半径为R，重为W1）及均质梁AB（长l=4R，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在梁的中点，被提升的重物E重 。电机通电后的驱动力矩为M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。 O B A C D E 1. 求加速度a。 解： 其中 解得 考虑鼓轮D，重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统（图b），M为电机定子作用在转子的驱动力矩，对固定点O的应用动量矩定理得 O B A C D E O ? W M O D E W1 (b) 2. 考虑整个系统（图c） ，注意驱动力矩为M系统内力。对点B应用动量矩定理得 O A B ? W W2 FNA A C D E FNB W1 (c) 解得 对整个系统应用动量定理得 O A B ? W W2 FNA A C D E FNB W1 (c) 解得 §10.5 刚体的平面运动微分方程 设刚体在外力 F1 , F2 , · · ·, Fn 作用下作平面运动。 取固定坐标系 Oxyz ，使刚体平行于坐标面 Oxy 运动，且质心 C在这个平面内，再以质心为原点作平动坐标系 C x′ y′ z′。 即 x y z z x vC C O Fi F1 F2 Fn yC xC y 由运动学知，刚体的平面运动可分解成随质心的牵连平动和相对于质心的相对转动。 随质心的牵连平动规律可由质心运动定理来确定 ∑miac = ∑Fi（e） 而相对于质心的相对转动规律可由相对质心的动量矩定理来确定 即 将前一式投影到轴 x，y 上，后一式投影到轴 Cz′上，可得 随质心的牵连平动规律可由质心运动定理来确定 ∑miac = ∑Fi（e） 而相对质心的相对转动规律可由相对质心的动量矩定理来确定 注意到 则有 这就是刚体的平面运动微分方程。可以应用它求解刚体作平面运动时的动力学问题。 式中 JC 表示刚体对轴 Cz′ 的转动惯量。 x y z z x vC C O Fi F1 F2 Fn yC xC y 例题12-11 匀质圆柱的质量是 m ，半径是 r，从静止开始沿倾角是φ 的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是 f s。试求圆柱质心 C 的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。 x y O C φ 解： 由刚体平面运动微分方程，有 以圆柱为研究对象，圆柱作平面运动。 maC = mgsin φ－F (1) 0 = FN－mgcos φ　　　 (2) JCα = F r (3) 由于圆柱只滚不滑，故有运动学关系 aC = r α (4) 联立求解以上四个方程，并考虑到 JC = M r 2 / 2 ，得到 FN = m g cos φ x y O C A FN F mg α φ aC F ≤ f sFN 从而求得圆柱滚动而不滑动的条件 由保证圆柱滚动而不滑动的静力学条件： 代入求出的 F 和 FN ，则得 x y O C A FN F mg α φ aC FN = m g cos φ tan φ ≤ 3 fs ≤ 2. 本例动量矩方程亦可用 JA α =MA 。 3. 本例亦可用动能定理求出aC，然后应用质心运动定理求出 F。 即圆柱有滑动，故运动学关系aC = rα不成立。 则应用关系F = FN fs 做为补充方程。 x y O C A FN F mg α φ aC ? 讨 论 1. 若 不成立，如何分析？ ≤ 例题 12-12 匀质细杆 AB 的质量是 m ，长度是 2l ，放在铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角 ?0 ，初角速度等于零。试求杆沿铅直