数学学习与智慧发展(门头沟)章建跃讲座.pptVIP

关于解一般三角形 对于“解三角形”，你会哪些知识？——会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。 给定两边一夹角，求其他边、角——化归为直角三角形。 还有没有其他方法？——从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？ 你还能提出哪些问题？ 对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？ 对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？ 一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。 八、发挥核心概念及其反映的数学思想方法的引领作用 数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点。 把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉。 核心概念所反映的数学思想方法具有数学方法论的基础地位，反映了数学的本质和基本思想，是探索大自然中各种各样问题以及数学规律的指导思想，从中可以生发出解决问题的策略和方法。 发挥数学核心概念及其反映的思想方法的引领作用至关重要。 例 “向量法”的本质 “向量法”的教学，要让学生对向量法的特点有基本而完整的认识的基础上与相关知识建立联系。 向量法的本质，首先是让几何量带上符号，“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。” （F·克莱因 ） 这几个“一般定理”就是： 向量加法法则（向量回路）； 向量数乘的意义及其运算律； 向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为0）； 平面（空间）向量基本定理。 向量的“联系性” 向量回路与三角形定义一致，三角形是最基本、最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础； 向量数乘与三角形相似的紧密联系； 平面向量基本定理与平行四边形的性质一致； 平面向量数量积与余弦定理等价；等等。 向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发点解决问题，由此可以把众多的知识串联起来，形成有机联系的整体。 向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算，根据图形列出向量等式，使计算与图形融为一体，这是体现向量法解题特点的关键。 教学中的问题与改进 没有反映向量法的本质，披着向量法的外衣，实际上还是综合几何的方法。 把向量法中的代数化曲解为“坐标运算”——窄化了向量法的应用范围。 改进：加深对“方向”的重要性的认识，加强从四个“一般定理”出发思考和解决问题的教学，加强“代数运算”和“图形运算”的结合。 九、要使学生掌握研究一个数学对象的具体方法 数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导——保证高立意。 好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。 一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。 围绕核心概念发展知识体系 十、数学方法因解决问题的需要而产生 解决一个数学问题，无非是两种途径： （1）调动已有知识解决之——用概念、原理为条件和结论搭桥； （2）创造一种新的方法解决之——在分析面临问题的特征的过程中发现、创造，核心是从具体事例中抽象规律，概括出一般方法。 数学归纳法的教学 如何引出问题——明确要解决的问题是“证明一个依赖于自然数n的命题p(x)”，而用现有的逻辑推理方法如分析法、综合法、反证法等无法证明。 如何获得方法——在具体推理过程中发现结构，这里就是归纳（为什么这种方法叫做数学归纳法？）： a1=1；由a1=1和an+1 =f(an)得a2=1/2；由a2=1/2和an+1 =f(an)得a3=1/3；…… 归纳出具有一般性的结构：ak=1/k和an+1 =f(an)得到ak+1=1/(k+1)。 利用生活经验（多米诺骨牌等）增强直观感受，使学生确信方法的可靠性； 方法的给出，强调第二步到底要做什么。 如何教解题（应用）——亦步亦趋地写出条件和结论各是什么；用数学归纳法证明时，第一步要证的是什么，特别是第二步本质上是要干什么——证明一个命题：以n=k成立为条件，证明n=k+1也成立。 缺第一步、第二步的辨析放在哪里？ 小结如何做？ 十一、使学生学会用数学语言思考和表达