规划数学-对偶理论.pptVIP

Chapter 1 引例：经营策略问题。甲工厂有设备和原料A、B 这些设备和原料可用于Ⅰ、Ⅱ两种产品的加工，每件产品加工所需机时数，原料A、B消耗量，每件产品的利润值及每种设备的可利用的机时数如下表。现在乙厂和甲厂协商，打算租用甲厂的设备购买资源A和B 。问甲厂采取哪种经营策略，是自己生产产品还是出租设备、出让原材料？如果出租设备、出让原材料，在和乙厂协商时出租设备和出让原材料A,B的底价应是多少？ 设y1 ,y2和y3分别表示出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A,B的附加额 1 原问题与对偶问题的关系(对称形式) 标准(max,?)型的对偶变换 目标函数由 max 型变为 min 型 对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,…,m 对偶问题约束为 ? 型，有 n 行 原问题的价值系数 C 变换为对偶问题的右端项 原问题的右端项 b 变换为对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵 A 转置后成为对偶问题的技术系数矩阵 原问题与对偶问题互为对偶 对偶问题可能比原问题容易求解 对偶问题还有很多理论和实际应用的意义 原问题与对偶问题的结构关系 原问题与对偶问题中的目标函数的优化方向相反（前者为极大，后者为极小） 原问题的每个约束条件对应于对偶问题的一个决策变量，且约束条件的资源系数（右端的常数项）为相应决策变量的价值系数 原问题的每个决策变量对应于对偶问题的一个约束条件，且决策变量的价值系数为相应约束条件的右端常数项 对偶问题中的系数矩阵为原问题中的系数矩阵的转置 原问题约束条件中的小于等于符号对应于对偶问题中的对偶变量取非负约束，原问题中决策的对偶问题非负约束在对偶问题中体现为相应的约束条件取大于等于符号 非标准型的对偶变换 对偶变换的规则 弱对偶定理推论 原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目标函数值的下限；对偶问题的任何可行解目标函数值是原问题目标函数值的上限 如果原(对偶)问题为无界解，则其对偶(原)问题无可行解 如果原(对偶)问题有可行解，其对偶(原)问题无可行解，则原问题为无界解 当原问题(对偶问题)为无可行解,其对偶问题(原问题)或具有无界解或无可行解 (3)强对偶性 (4) 对偶定理 若原问题和对偶问题两者皆可行,则两者均有最优解,且此时目标函数值相等. 第2部分:证明有相同的目标函数值 设 为原问题的最优解 对偶定理推论 根据对偶定理第2部分的证明,可以得出:若互为对偶的线性规划问题中的任一个有最优解,则另一个也有最优解,且目标函数值相等. 综上所述,一对对偶问题的解必然是下列三种情况之一: 原问题和对偶问题都有最优解 一个问题具有无界解,另一个问题无可行解 原问题和对偶问题都无可行解 (5)互补松弛定理 (6)原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系 原问题单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基解.显然,原问题最终单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基可行解 证：标准化后的原问题和对偶问题的表达式为： 原问题解为XB=B-1b ， 结论： 例4 例5： 原问题的最优解为:Z*=CBB-1b=CX*=Y*b 于是，当某个右端常数bi变为bi＋１时，原问题的目标函数最优值变为： 影子价格在经济管理中的应用 影子价格可以作为企业在接受外协加工任务时,对外协单位使用资源的收费标准,按照影子价格收费,保证了企业与外协单位双方平等互利的格局,可以促进双方合作. B单位产品的机会成本=2×3/4+1×0+4×1/4=5/2 当资源的市场价格低于影子价格,企业买进该资源,扩大生产,当资源的市场价格高于影子价格,企业应设法转让该资源. 产品价格的变动会影响到影子价格的大小,从而对资源的稀缺性产生影响. 系数变化后最终表的几种情况 最终表最优基B的逆B-1的位置 注意:最终表最优基B的逆B-1在最终单纯形表的位置与初始单纯形表中初始基所在的位置相对应 试用对偶理论找出原问题的最优解。 解：原问题的对偶问题为： 已知其对偶问题的最优解为： 代入对偶问题的约束条件， 得2,3,4式为严格不等式，由互补松弛性得 因 原问题的约束条件应取等式为： 求解后得到 原问题的最优解为: 对偶问题的经济解释---影子价格 z=CX=CBB-1b+σNXN =CBB-1b σN= CN-CBB-1N Y=CBB-1为单纯形乘子 当b为变量的情况下,当bi发生变化: yi的经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化.yi是bi的一种估价,估价是有条件的替代方案. 称对偶变量yi(i=1,2,…,m)表示原问题的 第i个约束条件的影子价格. (1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向. 注意:对于影子价格为零的资源企