计算机图形学-几何对象与变换.pptVIP

几何对象与变换 几何对象与变换 几何 几何表示 变换 OpenGL中的变换 基本内容 介绍几何要素 标量 向量 点 给出这些要素间的与坐标无关的数学运算 定义基本的几何体 线段 多边形 图形学中的数学 向量空间与仿射空间 点向量齐次坐标 仿射运算 变换 矩阵表示 变换矩阵的确定 几何要素 几何研究n维空间中对象之间的关系 在计算机图形学中，我们对三维空间中的对象感兴趣 希望得到一个几何形状的最小集合，根据这个集合可以建立起非常复杂的对象 需要三个几何要素 标量 向量 点 坐标系 与坐标无关的几何 在初等几何的学习中，主要应用的是直角坐标系 点在空间中的位置是p = (x,y,z) 通过对这些坐标进行代数操作导出结果 这种方法不是基于物理的 从物理的角度来讲，点的存在性是与坐标系的具体位置无关的 绝大多数几何结果是不依赖于坐标系的 欧氏几何：两个三角形全等是指它们有两个对应边和夹角相等 为什么需要向量？ 场景：树与照相机 照相机需要在视平面上形成一幅图像表示这棵树。视平面上哪些点需要被激活？ 透视投影需要利用向量来构造 向量分析 三种几何要素:标量、向量、点 所基于空间： 向量空间（即线性空间） 仿射空间：齐次坐标空间 标量 标量可以定义为集合中的成员，集合中具 有两种运算(加法和乘法)，运算遵从一些 基本的公理(结合律、交换律、逆) 例：实数或复数全体，通常的加法与乘法 标量自身没有几何性质 用小写希腊字母表示 向量 物理定义：向量是具有如下两条性质的量 方向 长度: |v| 例： 力 速度 有向线段 这也是图形学中最重要的例子 可以对应到其它类型上 用小写字母表示 向量运算 每个向量都有逆 同样长度但是指向相反的方向 每个向量都可以与标量相乘 有一个零向量 零长度，方向不定 两个向量的和为向量 三角形法则 线性空间 处理向量的数学系统 运算 标量乘法：u = α v 向量加法：w = u + v 在向量空间中，表达式v = u + 2w ? 3r有意义 向量没有位置 下述向量是相等的 因为它们具有相同的方向与长度 对几何而言只有向量空间是不够的 还需要点 点 空间中的位置 用大写字母表示 点与向量之间可进行的运算 点与点相减得到一个向量 等价地，点与向量相加得到新点 仿射空间 点加上向量构造的空间 运算： 向量与向量的加法- 向量 标量与向量的乘法-向量 点与向量的加法-点 标量与标量的运算-标量 上述运算均是与坐标无关的 对于任意点，定义 1 ?P = P 0 ?P = 0 (零向量) 向量与点的线性组合 给定n个向量v1, v2 ,…, vn, 以及n个标量α1,α2,…,αn, 则由归纳法可以证明 v = α1v1+ α2v2 +…+ αnvn 也是向量，称为这组向量的线性组合 给定n个点P1, P2 ,…, Pn, 以及n个标量α1, α2,…,αn, 则 P = α1P1+ α2P2 +…+ αnPn 是什么？ 所给的定义需要与坐标无关 点的线性组合 固定坐标系，取定其中的两点，那么P1 +P2是什么？ 当P1为原点时， P1 + P2等于P2 当P1 与P2关于原点对称时， P1 + P2为原点 所以P1 + P2的位置与坐标系有关 组合系数不能是任意数 点的特殊线性组合 由归纳法，从“点?点＝向量” 和“标量?向量＝向量”可知当组合系数和α1+ α2+…+ αn = 0时，点的线性组合为向量 ? P1 + ? P2 = P1 + ? (P2 ? P1) = 点＋向量＝点 实际上， ? P1 + ? P2表示两点的中点，这是与坐标无关的定义 当α1+ α2+…+ αn =1 时，点的线性组合为点，称为给定点的仿射组合 除此之外，其它形式的线性组合没有与坐标无关的意义 直线 考虑具有下述形式的所有点 P(α) = P0 + αd 即所有过P0点，与P0连线平行于向量d的点 射线与线段 如果限定α 0, 那么P(α)就是从P0出发，方向为d 的射线 如果采用两点定义向量d, 那么 P(α) = P0 + α(P1 – P0) = (1 – α) P0 +αP1 当0 ≤ α ≤1，那么就会得到连接P0与P1两点的线段 参数形式 上述定义直线的形式称为参数形式 比其它形式更一般和稳定 可以推广到曲线和曲面 二维形式 显式：y = mx + h 隐式：ax + by + c = 0 参数形式： x(α) = x0 + (1 ? α ) x1 y(α) = y0 + (1 ? α ) y1 两点线性插值 给定两点A, B，那么它们的仿射组合 P(t) = (1 – t) A + t B 就