大型稀疏矩阵的lu分解及特征值求解bestparallelsparsesolver.ppt

Krylov子空间 Arnoldi 迭代 Arnoldi 迭代的基本算法 ARPACK /software/ARPACK/ ON RESTARTING THE ARNOLDI METHOD FOR LARGENONSYMMETRIC EIGENVALUE PROBLEMS, MORGAN R.B. Lehoucq. Analysis and Implementation of an Implicitly Restarted Iteration. PhD thesis Arnoldi 迭代求解特征值 Krylov分解 -- 基于酉相似变换(unitary similarity ) 重视 基于酉相似变换的分解具有后向稳定性 Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide P.173 标准Arnoldi分解 广义Krylov分解 其中Q为酉矩阵，且可以连续叠加 Matrix Algorithms || EigenSystems. G.W.Stewart P.309 实测更效率 实测迭代次数，运行时间都减少约1/3。（与ARPACK对比） Krylov-schur分解的优点 Deflation操作的基本思路也类似，更加复杂。 易于挑选ritz值作为implicit shift 易于Deflation(Lock+Purge) Schur分解将任何一个矩阵归约为上三角矩阵，对角线即为该矩阵的特征值；并且在这条对角线上，特征值可以通过酉相似变换来任意排列。也就是说，在生成Rayleigh矩阵，并计算出所有的ritz值之后，可以把需要的Ritz值排到前面，而不需要的Ritz值排到后面，重启之后，只有挑出来的Ritz值出现在序列中。 G. W. Stewart, A Krylov–Schur algorithm for large eigenproblems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 23 (2001), pp. 601–614. Krylov-schur及其重启 考虑重启后，B矩阵更加复杂，如右图所示 包含重启的Krylov-Schur分解算法 Matrix Algorithms || EigenSystems. G.W.Stewart P329-330 收敛速度更快 经多个实际算例验证，其速度明显快于目前通用的ARPACK，一般迭代次数仅为ARPACK的60%-70%。 Why? 必威体育精装版算法 Subspace iteration with approximate spectral projection FEAST AS A SUBSPACE ITERATION EIGENSOLVER ACCELERATED BY APPROXIMATE SPECTRAL PROJECTION P.TAK, P.TANG, E.POLIZZI 可求出复平面内指定区域内的所有特征值 主要用于对称矩阵，需推广到非对称矩阵 基于cauch积分的spectral projection shift-invert变换 标准的shift-invert变换 Matrix transformations for computing rightmost eigenvalues of large sparse non-symmetric eigenvalue problems -- K.MEERBERGEN, D.ROOSE Cayley 变换 Matrix transformations for computing rightmost eigenvalues of large sparse non-symmetric eigenvalue problems -- K.MEERBERGEN, D.ROOSE Cayley变换 Cayley变换特性 1 平行于虚轴的直线 映射到单位圆 2 该直线左侧的点被映射到单位圆内部 3 该直线右侧的点被映射到单位圆外部 Filter polynomial Matrix Algorithms || EigenSystems. G.W.Stewart P.317 Aleksei Nikolaevich Krylov (1863–1945) showed in 1931 how to use sequences of the form {b, Ab, A2b, . . .} to construct the characteristic polynomial of a matrix. Krylov was a Russian appli