菲涅耳衍射和分数傅里叶变换.ppt

菲涅耳衍射和分数傅里叶变换  用分数傅里叶变换表示菲涅尔衍射公式是近代光学的一个必威体育精装版发展 分数傅里叶变换 衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系 是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？ 分数傅里叶变换理论提供了这种可能。 分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的，Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年建立了比较完整的分数傅里叶变换理论 九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅里叶变换的对应关系的研究 分数傅里叶变换的定义 分数傅里叶正变换 分数傅里叶反变换 式中 称为 的分数傅里叶谱， 称为分数傅里叶变换的维，是连续变化的实数，其值应满足 可以证明 分数傅里叶变换“定理”的证明 证明方法主要利用 函数性质 分数傅里叶变换“定理”的证明（续） 作一定的代数简化后得 常规傅里叶变换是分数傅里叶变换的特殊情况。当 和 时它转化为常规傅里叶变换 的分数傅里叶变换定义 当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换的极限方法有 其中利用了 函数的一种定义 0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换则给出它的倒象 分数傅里叶变换性质 1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有 2.位移性质 3.可加性性质 即， 阶和 阶变换依此作用的结果相当于 阶的一次变换,由于在上式中 和 是对称的，所以有可对易的 且 分数傅里叶变换的周期性质 4.周期性质 分数傅里叶变换关于阶数 有周期性，周期为 ，也就是说 于是当 时的变换都可以化为主值区内的变换。设 则 阶的分数傅里叶变换还可表示为 参数 的变化范围是 菲涅耳衍射公式和分数傅里叶变换的矢量形式 为用分数傅里叶变换表示菲涅耳衍射，首先将菲涅耳衍射公式改写为矢量形式 矢量形式比直角坐标形式简洁，因而常用在各种科技论文和杂志中，式中，矢量 表示的是衍射孔径的坐标 ，矢量 表示的是距离孔径坐标面为 处的观察面坐标 二维分数傅里叶变换定义的矢量形式应将不参与积分的变量放到积分号以外，有 菲涅耳衍射公式的分数傅里叶变换形式 尽管上述两个公式有些相象，为把菲涅耳衍射公式改写成分数傅里叶变换的形式，还需要作一些变量代换。令 则菲涅耳衍射公式变成 其中缩放因子 分数傅里叶变换形式菲涅耳衍射公式的意义 分数傅里叶变换形式菲涅耳衍射公式说明： 1、由孔径平面到观察平面的菲涅耳衍射可以看成是 维的分数傅里叶变换与一个二次位相因子的乘积 2、孔径平面到观察平面的光场分布之间满足 维的分数傅里叶变换关系的条件是两平面的坐标需要用缩放因子 及 进行变换 3、不同的维数对应的缩放因子是不同的，或者说，不同的缩放因子完成的分数傅里叶变换维数不同 4、由 、 及 可以计算出观察平面到孔径平面的距离 以及观察平面的缩放因子 5、在距离 确定的观察平面上以缩放因子 变换坐标后得到的菲涅耳衍射光场分布代表着孔径平面上光场分布的 维的分数傅里叶变换。 二次位相因子的影响 至于二次位相因子，因为任何光的接收器件都只能检测光的强度而不能直接检测位相，在观察平面接收到的光强分布与二次位相因子无关 在观察平面检测的菲涅耳衍射光强分布就是 维的分数傅里叶变换的模平方 如果要得到孔径平面上光场分布的考虑二次位相因子的准确的分数傅里叶变换的信息，则可在半径为 的球面上观察，因为发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子 球面半径的计算 发散球面波在距光源的平面处会产生一个二次位项因子 若在球面上观察，则球面上产生总的二次位项因子为 若总的二次位项因子互相抵消，即 因而，可求出球面的半径 用透镜做孔径的准确分数傅里叶变换 类似用透镜实现夫琅和费衍射，可以借助透镜实现实现准确的分数傅里叶变换 方法很简单，只要在观察平面处放置一个焦距为 的正透镜，在其后的平面上得到的就是准确的分数傅里叶变换，因为在透镜前的球面上于透镜后的平面上的光场分布是完全一样的，不仅振幅相同，位相也相同 透镜置于衍射孔径上的情况 这时菲涅耳衍射公式中需要增加一个二次位相因子，变为 此时坐标变换略有不同 并令 同样可以得到准确