蒙特卡洛法求解微分方程修正版.doc

蒙特卡洛法 ——求解一类随机微分方程 竺涵宇 3110100279 生工1102 一、机理分析法的含义 蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一类随机微分方程的数值解 1. 1 　基本方程 研究随机微分方程 式中: Xi0 、Xi ( t) 都是H 中的二阶矩随机变量, H 是二阶矩随机变量空间. 所有的运算都是在均方意义下的,采用向量形式,式(1) 成为 　X( t) = ( X1 ( t) , X2 ( t) , ?, Xn ( t) ) 是n 个二阶矩随机变量组成的n 维向量,它们组成一个线性空间,这个空间的范数定义为 　　 这个空间就是Hn . 由于H 是完备的, Hn 也是完备的。因此Hn 是一个Banach 空间。 　　在式(2) 中,若f : T ×Hn → Hn 满足Lipschitz 条件 　　　‖f ( t , X( t) ) - f ( t , Y( t) ) ‖n ≤k ( t) ‖X( t) - Y( t) ‖n 其中k ( t) 满足 　　　 则对任意X0 ∈ Hn ,式(2) 等价于 在一般情况下,由f ( t , X( t ) ) 的任意性,式(3) 无法得到解析解,现寻求其数值解. 1. 2 　随机微分方程数值解的基本步骤 蒙特卡罗(Monte2Carlo) 方法是以概率统计理论为基础,以随机抽样为其主要手段,通过统计试验来达到计算某些参量的目的. 　　随机微分方程数值解的基本步骤如下: 　　1) 建立随机微分方程初值X0 的概率模型F( X0 ;θ) ,其中F 为函数形式,θ为参数向量. 　　2) 按照概率模型F( X0 ;θ) 的特点,进行随机抽样产生一组伪随机数[ 7 ] ,即X0 . 　　3) 将这些初值X0 分别代入随机微分方程组,应用四阶龙格2库塔(Runge2Kutta) 法[8 ]求得随机微分方程的一组解. 事实上,对于式(2) ,当t = t i 时, X( t i ) 为已知,令t i + 1 = t i +Δt ,应用四阶龙格2库塔法求得 　4) 重复以上步骤m 次, 计算X ( t i + 1 ) 的数学期望, 它近似等于X( t i + 1) 的算数平均值. 　算　例 　例1 　假设从远离地面的某处,以v0 的初速度连续不断地垂直抛出小球, v0 是服从N (0 , 1) 的正态分布,抛球流量为每秒n 个, n = 1 000. 设开始抛球的时刻为t = 0 ,垂直向下为z 轴的正方向, 抛球点位于z轴的零点. 令z i = i , 记Δz i = ( z i - 1 , z i ] , i = 1 , 2 , ?,10. 计算t = 14 s 时,在Δz i 区间( i = 1 , 2 , ?,10) 小球数的数学期望. 2. 1 　例1 的解析解 　小球运动的随机微分方程为 因为抛球流量为每秒n 个, 所以1/n秒抛一个小球, t 秒内抛球nt 个. 先求t 时刻第一个小球处于Δz i区间的概率. 将式(5) 代入式(3) 得 根据文献[4 ] , z ( t) 的分布密度为 第一个小球在t 时,处于Δz i 区间的概率,即处于Δz i 区间小球数的数学期望为 故t 时刻nt 个抛出的小球处于Δz i 区间小球数的数学期望为 代入参数,求得其解析解,如表1 所示. 2. 2 　例1 的数值解 　由于t 秒内抛球nt 个,使得例1 的问题比一般问题复杂. 首先需要nt 次求解式(5) ,得到nt 组解z ( t )和d z ( t) / d t ,然后根据拉格朗日质点跟踪法, 跟踪每一个小球的位置, 统计在区间的小球数, 这样重复m次可得在Δz i 区间小球数的数学期望. 计算结果如表1 和图1 所示. 可见,当计算次数小于50 时,数值解的最大相对误差为6. 60T0 ;当计算次数大于50 和小于100时,数值解的最大相对误差为3. 60T0 . 总结 应用蒙特卡罗法(Monte2Carlo) 和四阶龙格2库塔(Runge2Kutta) 法,对于一类随机微分方程建立了—个求解模式. 利用Matlab 软件,通过求解小球运动的随机微分方程,得到其解析解和数值解,在计算次数大于50 和小于100 的条件下,数值解的最大相对误差为3. 60T0 . 可见一类随机微分方程的求解模式是可行的. 　　一类随