蜂房的最优化.doc

蜂 房 的 最 优 化 2010全国大学生数学建模竞赛河南师大数学学院选拔赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛的题目是： 蜂房最优化 我们的参赛报名号为： 所属系、专业、班（请表明本专科）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期：年 月 日 评阅编号（由数学建模协会评阅前进行编号）： B题 蜂房问题 当代著名生物学家达尔文?(Darwin,?1809-1882)(文献)说?：巢一个人在观赏精密细致的蜂巢后，而不知加以赞扬，那人一定是个糊涂虫。周长为 的多边形中，对应的正多边形面积最大首先假设这个多边形为n边形，那么这个多边形会有1个内切圆，内切圆的的圆心到所有边的距离都相等，现在我们假设这个内切圆半径为r，那么这个多边形的面积是r/2现在我过内心做一条垂直于某一边AB的线段，这个线段就是内径，连接内心和这条边的两个端点，很容易得到，r=[|AB|tan(A/2)]/2,释怀同理我们对于每一条边和它一端的内角都能得到这个类似的结果于是r就应等于所有这些结果的和除以边数（或内角数），注意不能出现重复的边和角，又由于所有边的和为所有内角的和也是个定值(-2)*180度，因此要想这些结果的和最大，应该有每一个结果都相等，此时，也是r最大，面积最大。而要使类似于|AB|tan(A/2)]/2的组合都相等，则每一个内角，每一条边都相等，而这正是正多边形 用MATLAB求解，程序如下：（取n=3,c=1） ① n=3; ② Pi=3.1415926; i=linspace(5,30,26); n=linspace(3,10000 ,99998); Pi=3.1415926; x=n/(24*tan(Pi/6)*((4*n+1)/6)); y=n./((4.*i.*tan(Pi./i)).*(n-(n-1)./i)); z=1/(4*Pi); x=n/(24*tan(Pi/6)*((4*n+1)/6)); plot(n,z,ro,n,x,g) plot(i,y,ro,6,x,g*); 结果如图(绿色的点表示六边形，红色的点表示i边形的k值，其中i=6时，绿色点儿为有效值，红点无效. ②图为n从3到10000的圆和六边形相比较)： ① ② 然后改变n的值，使其为5,10,100,1000,1000再比较i边形和六边形有如图： 由此可以看出n值对红色图形等影响不大都可以看到正六边形的k值远远大于其他图形及圆，。所以六边形比其他的图形更省材料，而且平面利用率更大。 正三边形，四边形，六边形的比较 ： ① 正三角形与正六边形比较 因为在现实中n的数值不确定，所以为了取得最优解，我们假设在添加图形时，都在裸露的顶点中选取其周围临近图形最多的顶点处添加，这样在每一次添加图形时可以保证增加最少边数，可以增加最多的图形个数。设a=增加的图形个数/增加的边数； 三角形的情况：在按照以上的规律来增加三角形，当增加的三角形足够多时，我们发现最后a会出现饱和值，a（3）=2/3 六边形的情况：增加六边形时也会出现饱和值，a（6）=1/4 由上面的假设每个图形的周长都为c， lim(k(3))/ lim(k(6))=[a(3)*(