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计算题 1、在整数环Z中，令I = {5k|k∈Z } （1）确定商环Z/I中的元素。 （2）Z/I是不是一个整环？求Z/I的特征。 2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。 3、求模6的剩余类环Z6的所有理想。 4、在10次对称群S10中，σ =. （1）将σ表成一些不相交轮换之积。 （2）求| σ|。 5、设G = {2m7n|m，n∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群，f：2m7n |→7n是G到G的一个同态映射，求f 的同态核Kerf 。 6、设（Z16，＋，·）是模16的剩余类环，求Z16的所有理想，求Z16的所有非零理想的交。 7、在7次对称群S7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。 8、在高斯整数环Z[i]={a + bi|a, b?Z,i2=-1}中,(1)求主理想(1+i)，(2)求。 9、给出整数加群Z的所有自同构。 10、设R=Z4是模4的剩余类环,确定Z4的所有理想。 11、设R=Z[i]={a + bi|a, b?Z,i2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。 12、设G={ 2m3n | m, n?Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m3n (1)验证f是G到G的同态映射， (2)确定Kerf 。 13、找出三次对称群的所有子群；找出关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。 14、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。 15、求出模6的剩余类加群Z的所有自同构。 16、（10分）求模12的剩余类加群（Z12，＋）的所有自同构映射 17、设Z＝是高斯整数环，求Z的商域。 18、求数环Z[]={a+b,bZ}的全部自同构映射。 19、求高斯整数环Z[i]={a+bi,bZ,i=－1}的主理想(1-i) 以及剩余类环 20、设Z是模8的剩余类环,在Z中求x的根. 21、在3次对称群S中,令H={(1),(12)},试确定H在S中的左陪集分解式。 22、确定高斯整数环Z[i]的全部自同构映射. 23、试写出模12的剩余类加群G＝（Z，＋）的所有子群及G的所有 生成元。 24、设Z是整数环，求（4，6）＝？ 25、找出模8的剩余类环的一切非零理想，并求它们的交。 26、 设G={25,n}是关于普通的数的乘法作成的群, f:255是G 到G的一个同态映射,求f的核kerf 。 27、设(Z12,+,)是模12的剩余类环,求Z12的一切理想,以及一切非零理想的交。 28、试写出三次对称群的所有不变子群。 29、已知I＝{6k|kZ}是偶数环R的理想，求商环的所有元素。 30、求数环的所有单位。 31、确定模10的剩余类加群的所有子群。 32、设G是一个阶为15的交换群。 证明G是循环群。 求出G的所有子群。 33、若S3是3次对称群， 求C（S3）。 当n≥ 3时，C（Sn）呢 ? 34、在3次对称群S3中，H=｛（1），（23）｝。 （1）试给出H在S3中的左陪集分解式 （2）H是不是S3的正规子群？ 35、设G是一个21阶交换群，H=｛x|x｝ (1) 证明：。 （2）确定出H。 36、设Z是整数加群，求Z的自同构群Aut(Z)。 37、设Z是模6的剩余类加群，求Aut(Z6)。 38、 在整数加群Z中，S=｛2004,23,32｝，求S。 39、设G=a是一个20阶循环群，试求G的所有生成元。 40、确定3次对称群S3的所有正规子群。 41、设NG，||=12,中求gN。 42、在5次对称群S5中，设置换=（12345） 求置换，使。 （2）求置换，使。 43、在S9中，=（1965）（1487）（1923），将表成一些不相交轮换之积，且求。 44、在S8中，H=, =（1487）（1865）（134），试求[G：H]。 45、求Z到Zm的所有同态映射。 46、求Zm到Z的所有同态映射。 47、求Z4到Z6的所有同态映射。 48、设HG，NG，。 （1）证明：f是群到的一个同态映射。 （2）计算Kerf。 49、设G=｛3m5n|m,n｝，G对通常数的乘法构成群。令。 50、设G与H是两个群，|G|=100，|H|=21，f是G到H 的同态映射，求 f。 51、求模12的剩余类环Z12的全部子环。 52、求模8的剩余类环Z8的全部理想。 53、若 求Z[i]的所有单位。 （2）是不是域？ 54、求模24的剩余类环Z24的所有单位。 55、设。 证明R是有理数域Q的子环。 （2）求R的所有单位。 56、求环M2（Z2）中的所有可逆元。 57、求环M2（Z4）中的所有可逆元。 58、试求模18的剩余类环Z18的可逆元与零因子。 59、设Z[i]为高斯整数环，I=（1+2i）,试写出I的元素