信号与线性系统分析 第5章 课件.ppt

5 连续系统的S域分析 5.1 ························拉普拉斯变换 5.2 ············拉普拉斯变换的性质 5.3 ····················拉普拉斯逆变换 5.4 ····························复频域分析 5.1 拉普拉斯变换 拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程的工具，其优点有： 简化求解，将初始条件自动包含在变换式里，可得方程的全解； 将微分与积分运算转换为乘法和除法运算，微分方程转换为代数方程； 一些特殊函数变换为简单的初等函数； 把时域的卷积运算转换为频域中函数的乘法运算，引入了系统函数； 利用系统函数的零点、极点分布给出系统的特性。 一. 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 不满足绝对可积的信号，可以乘上衰减因子e??t，选择常数?使信号f(t)e??t满足绝对可积条件 令s＝?+j?，则有 二. 收敛域 由傅氏变换的收敛条件可知，若 设因果信号为 f1(t)＝e?t?(t) (?为实数) 其双边拉普拉斯变换为 设反因果信号为 f2(t)＝e?t?(?t) (?为实数) 其双边拉普拉斯变换为 双边函数为 f(t)＝f1(t)＋f2(t)＝e?t?(t)＋e?t?(?t) 其拉普拉斯变换为 Fb(s)＝Fb1(s)＋Fb2(s) 收敛域可能存在，也可能不存在。 当?Re[s]?时，存在带状收敛域。 三. (单边)拉普拉斯变换 信号f(t)?(t)与f(t)的单边拉普拉斯变换相同，以下不加区分。 信号f(t)的单边拉氏变换对为 拉普拉斯变换的收敛定理：如果f(t)满足 (1) f(t)在有限区间0?atb?内可积； (2) 对于某个?0有 s0为复常数。简记为 5.2 拉普拉斯变换的性质 一. 线性 若 f1(t) ?? F1(s)， Re[s]?1 f2(t) ?? F2(s)， Re[s]?2 且有常数a1，a2，则 a1f1(t)＋a2f2(t) ?? a1F1(s)＋a2F2(s)，Re[s]max(?1,?2) 二. 尺度变换 同理可得 三. 时移特性 若 f(t)?(t) ?? F(s)， Re[s]?0 且有正实常数t0，则 f(t?t0)?(t?t0) ?? e?st0F(s)， Re[s]?0 ? 证明： 尺度变换和时移组合时，若 f(t)?(t) ?? F(s)， Re[s]?0 且有实常数a0，b?0，则 设有单位冲激系列 四. 复频移（S域平移）特性 若 f(t) ?? F(s)， Re[s]?0 且有复常数sa＝?a＋j?a，则 f(t)esat ?? F(s?sa)， Re[s]?0＋?a 证明： 五. 时域微分特性 微分定理 若 f(t) ?? F(s)， Re[s]?0 则 f(1)(t) ?? sF(s)?f(0?) f(2)(t) ?? s2F(s)?sf(0?)?f(1)(0?) …… f(n)(t) ?? snF(s)?sn?1f(0?)?sn?2f(1)(0?)?…?f(n?1)(0?) 证明： 因为 六. 时域积分特性 因为 积分定理 若 f(t) ?? F(s)， Re[s]?0 则 证明： 例：求tn?(t)的象函数。 解：因为 七. 卷积定理 时域卷积定理 若因果函数 f1(t) ?? F1(s)， Re[s]?1 f2(t) ?? F2(s)， Re[s]?2 则 f1(t)*f2(t) ?? F1(s)·F2(s) 其收敛域至少是两者收敛域的公共部分。 证明： 例：求周期性矩形脉冲列的象函数。 当?＝T/2时，为方波信号，其象函数为 八. S域微分和积分 复频域卷积定理 证明： 九. 初值定理和终值定理 所以 证明： 终值定理 f(t)当t??时极限存在，且 f(t) ?? F(s)， Re[s]?0，?00 则 例：f(t)＝e??t?(t)的象函数为 单边拉普拉斯变换性质小结 5.3 拉普拉斯逆变换 三. 应用拉氏变换的性质 例： 四. 部分分式展开法 当m ? n时，总可以变换成 方程A(s)＝0称为