【精品课件】第五章 第三节 等比数列及其前n项和.ppt

4．(2010·安徽高考)设{an}是任意等比数列，它的前n项和， 前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是 (　　) A．X＋Z＝2Y　　　　　B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X) 解析：由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z. 又∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列， 即X，Y－X，Z－Y为等比数列， ∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)， 即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY， ∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)． 答案：D (1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值． (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44. 法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p， 设T1＝a1·a2·a3·a4＝1， T4＝a13·a14·a15·a16＝8， ∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8?p＝2. ∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024. [归纳领悟] 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算． 一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法． 预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍是考查的重点，特别是等比数列的性质更要引起重视． 答案：A 2．(2010·江西高考)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2， a5＞a2，则an＝ (　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n 解析：记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1，当a1＝－1时，a5＝－16＜a2＝2，与题意不符，舍去；当a1＝1时，a5＝16＞a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 答案：A 3．在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k， a2k＋1成等差数列，其公差为2k. (1)证明：a4，a5，a6成等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测” * * 1. 理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关 系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系． 等比数列及其前n项和 [理 要 点] 一、等比数列的相关概念 相关名词 等比数列{an}的有关概念及公式 定义 ＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或 ＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且 ) 通项公式 an＝ n≥2 a1q n－1 2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s， 则有 . 二、等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am·qn－m. ap·aq＝ar·as 4．若数列{logaan}成等差数列，则数列{an}成 ． 等比数列 常数列 递减数列 7．Sn为等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n满 足(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，但不一定成等比数列． [究 疑 点] b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，∵当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac. 答案：2n＋1－2 2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1. 求证：数列{cn