【线性代数】逆矩阵 矩阵分块法.ppt

三、方阵可逆的条件 五、逆矩阵的运算规律 六、矩阵方程和矩阵多项式的求法 七、小结 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算规则 三、几种常见的分块方法 四、小结 第四节 矩阵分块法 用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操 作”称为对矩阵进行分块，每一个小块称为子块；这 样处理矩阵的方法称为分块法； 矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵. 说明 分块矩阵只是形式上的矩阵； 分块法的优越之处是： 把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化. 可为某些命题的证明提供方法. 例如 得到4个子块： 以这些子块为元素，于是，得到 的按照这种 分法的分块矩阵： 这是一个形式上为 的分块矩阵 对 还可以进行其它分法，如下面的两种分法： 1. 分块矩阵的加法 设矩阵 与 为同型矩阵，采用相同的分法，有 那么 说明 分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加. 2. 分块矩阵的数乘 设 为数，对矩阵 分块后，得分块矩阵为 那么 说明 分块矩阵的数乘，数乘每一个子块. 3. 分块矩阵的乘法 设 为 矩阵， 为 矩阵， 对 的列的分法与对 的行的分法相同，分块成 则 的列数分别等于 的行数， 那么 其中 说明 分块矩阵的乘法，对左矩阵的列的分法与对右矩 阵的行的分法相同，再按普通矩阵的乘法. 例8 设 求 解 分块法： 把 分块成 则 因此 说明 在计算两个分块乘积时，可以把子块看作“数”； 把4阶矩阵的乘积化为2阶矩阵的乘积，即把大矩 阵的运算化为小矩阵的运算. 例 设A为n阶矩阵， 矩阵 ， （1）求证 为矩阵 A 的第j列； （2）若 ，求证： 。 证 （1）将A按列分块，设 为A的第j列，则 （2）将A按列分块，则 于是 如此类推，可得 4. 分块矩阵的转置 设对矩阵 分块后，得分块矩阵为 那么 说明 分块矩阵的转置，把行写成同序号的列，并且每 个子块转置. 5. 分块对角阵 设 为 阶矩阵，可分块成为 也就是只有在对角线上有非零子块，其余子块都 是零矩阵; 如果在对角线上的子块 都是方阵，那么这样的分块矩阵称为分块对角阵. 分块对角阵的性质 分块对角阵的行列式 分块对角阵的逆： 当 ，即 时，有 分块对角阵的幂： 特别注意 例如 设 则 例9 设 求 解 分块法： 对 做如下形式的分块后，得到分块对角阵: 因此 说明 由此例可以看出，用分块法把求3阶矩阵的逆阵问 题化为求2阶矩阵的逆阵问题，使计算简便多了. 此例显示出，记住2阶矩阵的逆阵，是必要的. 例10 设 求 解 分块法： 对 做如下形式的分块后，得到分块对角阵: 因此 由此归纳可得 所以 在分块矩阵的运算中，特别要注意分块矩阵的乘 法， 运算的可行性取决于两个方面： 左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数； 左矩阵子块的列数等于右矩阵相应子块的行数， 在计算矩阵 与 相乘时，常 见的分块方法有： 1. 对 按列分块，同时对 作“最粗”的分块 把 本身当作一个子块 说明 称为矩阵 的列向量， 称为 的列 向量组； 矩阵与列向量组一一对应. 应注意，若反过来，对 按列分块，对 作“最 粗”的分块，则 是无法 进行分块矩阵的乘法. 下标表示分块矩阵的行块数和列块数，以下相同 2. 对 按行分块，同时对 作“最粗”的分块 把 本身当作一个子块 3. 对 按列分块，同时对 作“最细”的分块 当 是对角阵时,常用这样的分块. 做“最细”的分 块,即为把每个元素作为一个子块. 说明 此结论表明，以对角阵右乘 的结