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四边形拓展 一、平行四边形 1、如图所示，在平行四边形ABCD中，AF⊥BC于点F，AE⊥CD于点E，如果∠B=60o,BF=2，DE=3，DF与AE交于点G，试判断△AFG的形状并予以证明。 2、已知，如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上。 （1）若AB=10.AB与CD间的距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积； （2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5，3，4，求△DEF的面积。 3、我们把能平分四边形面积的直线叫做“好线”。利用下面的作图（如图所示），可以得到四边形的“好线”。在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC。显然折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”。 （1）试说明直线AE是“好线”的理由； （2）如图所示，AE为一条“好线”，F为AD边上的任一点，请做出经过F点的“好线”，并对画图做适当说明（不需要说明理由）。 二、平行四边形的判定 4、已知，如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上的一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF。（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。 5、已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。 （1）若四边形ABCD如图所示，判断下列结论是否正确； 甲：顺次连接EF、FG、GH、HE，一定得到平行四边形；（ ） 乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE，一定得到平行四边形。（ ） （2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断； （3）若四边形ABCD如图所示，请你判断（1）中的两个结论是否成立。 6、如图所示，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。 （1）当点P与点B重合时，图变为图，若∠ABD=90o，求证：△ABR≌△CRD； （2）对于图，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件 7、如图所示，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90o，M为AB的中点。 操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长至点E，使ME=PM，连接DE。 （1）探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论； （2）请你利用图、图选择不同位置的点P按上述方法操作； （3）经历（2）之后如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图或图加以说明（注：错误的结论只要你用反例给予说明也得分） （4）若将Rt△ABC改为任意△ABC，其它条件不变，利用图操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）。 三、矩形 8、如图所示，在△ABC中，∠BAC=90o,延长BA到点D，使AD=AB，点E、F分别为边BC、AC的中点。 （1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG。 9、如图所示，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（），D是AB边上的一点，将△AOD沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，求该函数的解析式。 10、阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边和矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”。如图所示，矩形ABEF即为△ABC的友好矩形，显然