浙江高考自主命题七年《向量》试题分析与教学建议.docVIP

浙江高考自主命题七年中《平面向量》试题赏析与启示 浙江省富阳二中 　马华明 浙江省高考自主命题已进行了七年，这七年的试卷里命题组编制了许多新颖独特的试题，其中的新增内容《平面向量》试题更是新颖独特、背景深刻、构思巧妙，笔者每年做完这个题目时都有一种意犹未尽、爱不释手的心情。下面笔者将它们整理出来与各地同仁赏析后，再提一点教学启示以期抛砖引玉。 一、试题赏析 1．（04年理14）已知平面上三点A、B、C满足, , ｜，则的值等于__-25_. 解：， 几何背景： 直角三角形 （文14）已知平面上三点A、B、C、满足则的值等于__-4_. 2．（05年理10）已知向量，，对任意t∈R，恒有，则( C ) (A) (B) (C) (D) 解一（代数法）：由恒成立得到，恒成立，所以，推出， 解二（几何法）：如图2，因恒成立， 所以， 几何背景：直线（向量所在直线）外的一点（的终点）与直线上的各点（的终点）的连线中，垂线段最短。 （文8）已知向量，且，则由x的值构成的集合是( C ) (A) (B) (C) (D) 3．（06年理13）设向量，，满足，，，若，则的值是　4　　 。 解一（代数法）：在两边同乘以，得到，所以，又由得，，把平方得，，所以。 解二（几何法）：如图3，由已知得是等腰直角三角形，角C是直角，所以， 几何背景：等腰直角三角形斜边上的高线=中线＝斜边的一半。 （文5）设向量满足,,则（ D ） (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 4．（07年理7）若非零向量满足，则（　C　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解一（代数法）：。 解二（几何法）：如图4所示，由已知得AD=BD=DC 所以 是直角三角形，角A是直角， 所以BCAC。即。 或者说，因ＡＤ＋ＣＤ＞ＡＣ，所以 几何背景：直角三角形中斜边大于直角边，两边之和大于第三边。 （文9）若非零向量满足，则（　A　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．（08年理9）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（ C ） （A）1 （B）2 （C） （D） 解一（代数法）：由得，，又，所以，，其中是向量与向量的夹角，所以的最大值是。 解二（几何法）：如图5所示，由已知得是角O为直角的等腰直角三角形，直角边长为1，斜边AB长为，是角C为直角的直角三角形，所以点O、C都在以AB为直径的圆上，所以弦OC的最大值是直径。 几何背景：三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上，最长的弦是直径。 （文16）已知是平面内的单位向量，若向量满足, 则的取值范围是 [0,1] . 6.（09年理7）设向量，满足，以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ B ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 解：根据勾股定理，，该三角形内切圆半径为，选B。 （文5）已知向量=(1,2), =(2,-3).若向量满足，则=（ D ） A．(,) B．(-,-) C．(,) D．(-,-) 7.（10年理16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是.，得。 几何背景：对定线段的视角为定角α (0 α 180° ) 的点的轨迹 , 是对称于定线段( 所在直线 ) 的两个圆弧 , 以定线段为弦而其内接角等于α 满足的值是。 纵观七年试题特别是理科试题，题目虽然不同，难度也有差异，但是命题思路却是一脉相承，每一道题都隐含一个或几个平面几何定理，如果明白其几何背景，结合图形根据定理可以直观简练地求解问题。 二、教学启示 向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及其平行垂直的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合的思想。向量也是代数群的数学模型，是进一步学习数学知识的基础。此外向量还有许多物理背景，如力、速度、位移等，所以向量还是重要的物理模型。可见，向量是人们用来解决问题的一种非常有用的工具。 浙江七年高考向量试题学生答得不好，根本原因是平时教学中偏重形式化的运算，许多学生拿到这类题目首先是做代数运算而不去想几何意义，这类学生也就更不可能把几何问题用向量解决。 教学中要“淡化形式，注重实质”，几何意义是向量