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几道立体几何题的变式教学 一、本节课教学内容分析 本节课是高中数学立体几何的复习课。立体几何部分在高考中的命题规律是：考查内容、题型、题量、难度相对稳定。题型上，选择、填空、解答皆有出现。题目难度多为基础题和中档题。 对于点、线、面之间的位置关系的考查多以选择题和填空题的形式考查基础知识，以解答题的形式考查综合运用。内容上常常是以特殊的几何体为载体，证明平行、垂直关系，或计算空间角、空间距离。在设问形式上，一般采用分布设问，以达到“分散解题难点，分层考查能力”的目的，同时注重符号、文字、图形三种语言的综合运用，解答方法上一般是既能用传统立体几何法，又能用向量法，综合考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力。 二、教学目标 分析典型题型，认真分析解答，提高学生对小题的解题准确率，既注重基础知识的灵活运用，又要体现综合数学能力。紧跟考纲要求，既渗透空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判定、空间角与距离的计算作为考查重点的基础知识，又要加强空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，计算和推理并重。 三、教学重点 高中数学立体几何中的基本知识和基本能力，基本知识有：点、线、面之间的位置关系及空间夹角和距离的计算，基本能力有：空间想象能力、推理论证能力、运算能力及运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力 四、教学难点 高中数学立体几何中小题的变式教学的开展，立体几何知识的综合灵活运用 五、教学内容及设计思路 通过对几道典型例题的讲授，启发引导学生对问题进行发散思维，尝试对同一个问题进行变式教学，在师生互动当中发现问题、解决问题。一方面体现新课程的思想，一方面努力培养学生主动思考自学的习惯。 例1、（09年全国12题）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是 (　　) A．南 B．北 C．西 D．下 解析：可以通过把正方体的展开图进行复原进行解答。答案选B.在解题时可以借助实物教具进行演示，一方面训练空间想象能力，一方面训练动手操作能力。 一道同类型附加例题（09四川延考理12） 附例1、一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，与所成角的余弦值为 （A） （B） （C） （D） 解：还原正方体如右图所示设,则, ,,与所成角等于与所成角, 所以余弦值为,选 D。 变式练习1 在原来的正方体中，直线与之间的距离为 。 变式练习2 在原来的正方体中，点A到直线之间的距离为 。 注：上述题目中涉及立体图形展成平面图形和平面图形还原为立体图性，正是初中所学知识，而这里着重考查空间想象能力，涉及到空间点、线、面之间的关系以及计算夹角距离等的度量问题，需要良好的空间想象能力和运算能力。 例2、ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为 (　　) A． B． C． D．1 解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求．易证CE＝1.故选D. 解题反思：在解决这道问题的时候，有以下几点应注意思考： 1、关注形方面，一个平面图形经过折叠变成空间图形，首先考虑图形的变化，位置关系（平行、垂直）的变化，涉及空间立体图形平面直观图的做法，当然在学生做草图的过程中，注意作图规范，提倡斜二侧作图法。 2、关注数方面，当一个正方形折叠为直二面角后，要注意量的变化，长度、角度有那些发生变化，那些不发生变化，注明长度。 3、规范的解答当中要证明CE是异面直线AE与BC的公垂线段，紧扣定义，借助辅助线及相关定理等，注意学生数学素养的养成。 思考：题目中的已知条件不变的前提下，你还可以提出哪些问题呢？ （引导学生发现和提出新问题、解决问题，从而发散思维，对已有知识灵活运用） 变式练习1求异面直线AE和BC所成角的大小?（用反三角函数表示） 变式练习2求三棱锥A-BCD的体积？ 变式练习3求点B到平面ACD距离或点D到平面ABCD的距离？（提示：用等体积法转化求距离，） 变式练习4求二面角的大小？ 注：本题中有一个平面图形到空间图形的过程，需要学生做出一个直二面角的直观图，考察草图作图，当然，一个好的草图，对得出结论很方便直观，要引导学生做好这一点。另外，典型例题道中的变式教学很好，在平时教学中要注意挖掘。 一道同类型附加例题