同济六版高等数学二章课件05.ppt

§2.5 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 内容小结 思考与练习 4. 设 4. 设 5. 作业 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 上页 下页 铃 结束 返回 首页 四、微分在近似计算中的应用 引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0?Dx? 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 A?x2? 所以金属片面积的改变量为 DA?(x0?Dx)2?(x0)2 ?2x0Dx?(Dx)2? A=x02 x0 x0 ?x ?x x0?x x0?x (?x)2 当Dx?0时? (Dx)2?o(Dx )? DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx? 2x0Dx是DA的近似值? 下页 设函数y?f(x)在某区间内有定义? x0及x0?Dx在这区间内? 如果函数的增量 Dy?f(x0?Dx)?f(x0) 可表示为 Dy?ADx?o(Dx)? 其中A是不依赖于Dx的常数? o(Dx)是比Dx高阶的无穷小? 那么称函数y?f(x)在点x0是可微的? 而ADx叫做函数y?f(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分? 记作dy? 即 dy?ADx? 微分的定义 下页 函数f(x)在点x0可微 ? 函数f(x)在点x0可导? 函数在点x0的微分一定是 dy?f ?(x0)Dx? 可微与可导的关系 y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy=ADx? 这是因为? 一方面 另一方面 其中a?0(当Dx?0)? 且A=f(x0)是常数? aDx ?o(Dx)? , 下页 函数y?f(x)在任意点 x 的微分? 称为函数的微分? 记作dy 或 df(x)? 即 dy?f ?(x)Dx? 例如? dcos x?(cos x)?Dx ??sin x Dx? dex?(e x)?Dx?exDx? 函数f(x)在点x0可微 ? 函数f(x)在点x0可导? 函数在点x0的微分一定是 dy?f ?(x0)Dx? y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy=ADx? 下页 可微与可导的关系 例1 求函数y?x2在x?1和x?3处的微分? dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx? 函数y?x2在x?3处的微分为 dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx? 例2 求函数 y?x3当x?2? Dx ?0?02时的微分? y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy=ADx? 解 函数y?x2在x?1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分? dy?(x3)?Dx?3x2Dx? 再求函数当x?2? Dx?0?02时的微分? dy|x=2, Dx=0.02 =3?22?0.02=0.24? =3x2Dx| x=2, Dx=0.02 下页 因为当y=x时? dy=dx=(x)?Dx=Dx? 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分? 记作dx? 即 dx?Dx? 因此? 函数y?f(x)的微分又可记作 dy?f ?(x)dx? 自变量的微分 下页 从而 导数也叫作微商 结论 在f ?(x0)?0的条件下? 以微分dy?f ?(x0)Dx近似代替增量Dy?f(x0?Dx)?f(x0)时? 其误差为o(dy)? 因此? 当|Dx|很小时? 有近似等式Dy?dy? 当f ?(x0)?0时? 有 根据等价无穷小的性质? Dy?dy?o(dy)? 增量与微分的关系 首页 1 lim ) ( 1 ) ( lim lim 0 0 0 0 0 = D ￠ = D ￠ D = D ? D ? D ? D dx y x f x x f y dy y x x x . 当|Dx|很小时? |Dy?dy|比|Dx|小得多?