四边形专题讲座动点问题20121103答案解析二版专题11 动点问题20121103.docVIP

杨老师专题讲座动点问1、（2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由． 【答案】AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为（，） （2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上； （3）＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。 2、（2011山东）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F. （1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值； （2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值. 【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF. 又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=. （2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF. ∴PE－PF=OF－BF= OB=. 3、（201）探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF． ⑵方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． ⑶问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）． 【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF． ∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．矩形ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′′D，如图1将△A′′D的顶点A′与点A重合，并绕点A逆时针旋转A′)、B在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °． 问题探究 如图，ABC中，AG⊥BC于，A为直角顶点，分别以AB、AC为边向△ABC外作等腰ABE和等腰ACF，E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展 如图，AG⊥BC于，分别以AB、AC为一边向△ABC作矩形ABME和矩形ACNF，线GA交EF于点若ABk AE，AC= k AF，试探