高中数学一轮复习课件：正弦余弦定理的应用.ppt

1．实际应用问题中的基本概念和术语 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 (如下图)． (2)方位角：一般指北方向线 到目标方向线的水平角． (3)方向角：以某一正方向(正南、正北、正东、正西)为角的始边，旋转到目标方向线的锐角． (4)坡角：坡面与水平面的 ． 2．解斜三角形应用题应遵循以下步骤： (1)分析：准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 3．解斜三角形应用题常有以下几种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，再用正弦定理或余弦定理解之． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解． (3)实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理． 4.运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件和待求式子的特点，恰当地选择定理．运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中给出三边关系时，往往考虑用余弦定理求角． 1．如下图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是 (　　) A．c和a　　　　　　　 B．c和b C．c和β D．b和α 答案：D 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是 (　　) A．αβ B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：如下图，可知α＝β. 答案：B 3．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米． (　　) A．1 B．2sin10° C．2cos10° D．cos20° 解析：如下图，∵∠CBD＝∠A＋∠ACB＝20°， ∴∠A＝∠ACB＝10°. ∴AB＝BC＝1千米．由余弦定理，知 答案：C 4．我舰在敌岛A南偏西50°方向相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为________． 答案：14海里/时 5．一人在C处看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在西北方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D，看到A在他的东北方向，B在其北偏东75°方向．试求这两座建筑物AB间的距离． 【例1】　如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？ 解：设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．如右图，连结CD.则快艇沿线段BC，CD航行． 在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°. 又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 . 故快艇从港口B到小岛C需要1小时． 在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)． 由余弦定理知， CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD， 变式迁移 1　某观测站C在城A的南偏西20°的方向(如右图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31公里，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A城？ 【例2】　(2009·辽宁卷)如右图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km， ≈1.414， ≈2.449)． 思路分析：根据图中的已知条件求出一些点与点之