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数理方程例题II （2009-11-7） 例1． 判别二阶微分方程 的类型并求通解。 解：利用判别式 所以方程是双曲型方程。构造辅助方程 解得：，，由 ， 积分，得 ， 构造变换 ， 显然，变换矩阵为 且 将变换表达式代入方程，化简得，即 对其积分，得 其中，是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解 例2. 分离变量法求解双曲型方程初边值问题 解：对应的固有值和固有函数分别为 ，，（n=1，2，……） 满足边界条件的解为 利用初值条件，得 ， 所以 ，（n=0，1，……） ，（n=0，1，……） 所以初边值问题的解为 整理，得 例3 分离变量法求解双曲型方程初边值问题 解：对应的固有值和固有函数分别为：，，（n=1，2，……）。 满足边界条件的解为 利用初值条件，得 ， 对比等式两端，得 Cn =0，（n=1，2，3，……） 当n为奇数时，有 所以，原问题的解 例4．分离变量法求解热传导问题 解：对应的固有值和固有函数分别为 ，，（n =0，1，2，…… ） 满足边界条件的解为 利用初始条件，得 计算付里叶级数系数，得 ，（n =0，1，2，…… ） 当n为偶数时，有 所以，原问题的解 例5 求解初值问题 解：记，则对应的特征方程为： 解得,，所以 ， 积分得：y = – x + C1，y = 3x + C2，构造变换 将原方程化为：，得通解：，即 由初始条件，得 ， 将第二式积分，联立第一式，得 ， 代换，得：， 原方程通解为 例6. 求解非齐次波动方程初值问题 解：利用叠加原理，令 u(x，t) = v(x，t) + w(x，t)。取 得v(x，t )满足的初值问题 由达朗贝尔公式，得 所以原初值问题的解为 例7. 求解半无界弦定解问题： 解：对初始条件中函数做奇延拓 ， 应用达朗贝尔公式，当x 0，且 x at 时，有 当x 0，且 x at 时，有 例8. 记，求证 证明 由付里叶逆变换公式，得 ） 利用重要积分公式，，得 整理，得 例9 用付里叶变换法求解热传导方程初值问题 解：记。由于狄拉克函数的付里叶变换为1，对方程和初始条件做付里叶变换，得一阶常微分方程初值问题 求解得 对其做付里叶逆变换（利用上题结论），得热传导方程初值问题的解 例10 写出上半平面的Green函数，并用Green函数方法求解Laplace方程的Dirichlet问题 其中，求解区域 D={(x，y) | y 0 }． 解：上半平面Green函数为 由于 所以Green函数在边界曲线外法向导数 由Green函数性质，有 所以 例11推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程（不解贝塞尔方程）。 解：令，代入方程得， 分离变量，得，得常微分方程 ， 令，，，则，，所以 ，，代入方程，得贝塞尔方程 例12 证明 半奇阶贝塞尔函数表达式为。 解：由n阶贝塞尔函数的级数形式 得 利用伽玛函数的特殊值，得 所以 由于 故