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第七章 采样系统理论 第七章 采样系统理论 7-1 采样过程与采样定理 一、采样过程 图7-3 信号的采样过程 实现上述采样过程的装置称为采样开关 可用图7-3（d）所示的符号表示。 图7-4 香农（Shannon）采样定理 若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图7-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的 ： 如果采样频率 满足以下条件 二、理想采样过程 为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念 。 载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ） 再设当 时， 则采样过程的数学描述为 7-2信号的恢复与零阶保持器 信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。 各阶导数的近似值 由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（7-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。 零阶保持器的数学表达式为 理想采样开关的输出Laplace变换为 零阶保持器的输出为 由上式可知零阶保持器的 零阶保持器的频率特性为 其中 零阶保持器的频率特性曲线如图7-9所示，对比图7-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。 图8-9 零阶保持器的频率特性曲线 7-3 z变换与z反变换 一、z变换 连续信号 经采样后得到的脉冲序列为 引入一个新的复变量 将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定义式如下 例7-1 求单位脉冲信号的z变换。 例7-2 求单位阶跃信号的z变换。 解： 设 ，则 该级数的收敛域为 ，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式 例7-3 求单位斜坡信号的z变换。 设 ，则 上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得 上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的z变换 例7-4 求指数函数的z变换。 解：设 ，则 例7-5 设 ，求 的z变换。 注意： 二、z变换的基本定理 证明： 2．实数位移定理 若 的z变换为 ，则 证明： 证明式（7-31） 由于当 时， ，所以有 证明式（7-32） 3．复位移定理 已知 的z变换函数为 ，则 4.初值定理和终值定理 1 初值定理： 设 的z变换为 ，并且有极限 存在， 则 2 终值定理： 设 的z变换为 ， 且 的极点均在z平面的单位圆内，则 5．Z域尺度定理 若已知 的z变换函数为 ，则 三、z反变换 1 部分分式法 例7-6 已知z变换函数 求其z反变换。 解： 首先将 展成部分分式 2 长除法 例7-7 已知z变换函数为 求其z反变换。 解： 由 3 留数计算法 由z变换的定义可知 设 的极点为 ，则 例7-8 已知z变换函数为 试用围线积分方法求z反变换。 解： 上式有两个极点 和 ，且 7-4 脉冲传递函数 一、脉冲传递函数的定义 系统输出的采样信号为 二、开环脉冲传递函数 1．开环脉冲传递函数 例7-11 系统结构如图8-10所示，其中连续部分的传递函数为 解： 连续部分的脉冲响应函数为 或由 得 2．串联环节的脉冲传递函数 （1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数 例 7-12 系统结构如图7-11所示，其中 求开环脉冲传递函数。 解： (2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数 如图7-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为 例7-13 系统结构如图7-12所示，其中 求开环脉冲传递函数。 解： （3）有零阶保持器时的脉冲传递函数 开环脉冲传递函数为 例 7-14 系统结构如图7-13所示，其中 采样周期 s 求其开环脉冲传递函数。 解： 由于 所以 三、闭环脉冲传递函数 图7-14 闭环采样系统 采样开关的输入和系统