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* 第二章 函 数 §2.1 映射与函数 基础知识 自主学习 要点梳理 1.映射 （1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对 应关系f，对于集合A中的 ，在集合 B中都有 的元素和它对应，那么，这样的对 应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关 系f）叫做 的映射，记作f：A→B. 任何一个元素 唯一 集合A到集合B （2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射， 且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么， 我们把元素b叫做元素a的 ，元素a叫做元素 b的 . 2.函数 （1）函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 ，在集合B中 都有 ，称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x 的取值范围A叫做函数的 ， 叫做函数的值域. 象 原象 任意一个数x 唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合 {f(x)|x∈A} （2）函数的三要素 、 和 . （3）函数的表示法 表示函数的常用方法： 、 、 . 3.反函数 （1）定义 函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这 个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ(y).如果对于y在C中的 ，通过x= φ(y)，x在A中都有 和它对应，那么, x=φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这 定义域 值域 对应法则 解析法 列表法 图象法 任何一个值 唯一的值 样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的 ，记作 ，习惯上用x表示自变量，用 y表示函数，把它改写成 . （2）互为反函数的函数图象的关系 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于 直线 对称. 反 函数 x=f -1(y) y=f -1(x) y=x 基础自测 1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的 有 （ ） A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C. D 2.给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射； ②f（x）= 是函数； ③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线； ④f（x）= 与g(x)=x是同一个函数. 其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 由函数的定义知①正确. ∵满足f（x）= 的x不存在，∴②不正确. 又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的 点，∴③不正确. 又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确. A 3.下列各组函数是同一函数的是 （ ） 解析 排除A； 排除B； 当 即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C. 故选D. 答案 D 4.函数f(x)=3x+5,x∈［0,1］的反函数f-1(x)= . 解析 ∵y=3x+5, 又0≤x≤1,∴5≤y≤8, ∴f(x)的反函数为 y 5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= . 解析 题型一 求函数的解析式 【例1】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x). 问题（1）由题设f（x）为二次函数， 故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（3）已知条件中含x，