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6-2 贝塞尔函数柱函数 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下 分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程． 通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函 数． 贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主 要是引用贝塞尔函数的正交完备性． 6.1 贝塞尔方程及其解 6.1.1 贝塞尔方程 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的 贝塞尔方程。 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 ⎧ 2 2 2 2 utt a (uxx +uyy ) (0 ≤x +y l ,t 0) （6.1.1 ） ⎪ ⎪u | 2 2 2 0 (t =≥0) ⎨ x +y l ⎪u(x, y,t) |t 0 ϕ(x, y) ⎪ u (x, y,t) | ψ(x, y) ⎩ t t 0 l ϕ(x , y ),ψ(x , y ) 其中 为已知正数， 为已知函数． 这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题． （由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 u(x, y,t) u(ρ,ϕ,t) T(t)U(ρϕ, ) 对泛定方程分离变量 （取λ k 2 ）得 T ′′+ k 2 a 2 T 0 （6.1.2 ） ⎧ ′′ 1 ′ 1 ′′ 2 U + U + U +k U 0 ⎪ ρ ρ 2 ϕ ⎨ ρ ρ （6.1.3 ） ⎪ U |ρ l 0 ⎩ 再令 U(ρ,ϕ) R(ρ)Φ(ϕ) ，得到 2 (6.1.4) ′′ Φ +ν Φ 0 2 2 2 2 （6.1.5 ） ′′ ′ + + − ρR ρR (k ρ ν )R 0 令 kρ x, R(ρ) yx( ) 于是(6.1.5)得到 2 d 2 y dy 2 2 + + −ν （6.1.6 ） x 2 x (x ) y 0 dx dx 边界条件为 y (k ρ)|ρ l y (kl ) 0 方程（6.1.6 ）称为 ν 阶贝塞尔微分方程．这里 ν和 x 可以为任意数． 6.1.2 贝塞尔方程的解 通过数学物理方程的幂级数求解方