[数学]2009—2010年高考模拟试题压轴大题选编二.doc

2009—2010年高考模拟试题压轴大题选编（）2009-12-10 1.（湖北省黄冈中学2010届高三11月月考） 已知函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为． （1）求数列{}的通项公式； （2）若数列的项仅最小，求的取值范围； （3）令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：． 【解析】（1）令，解得，由，解得， ∴函数的反函数，则，得． 是以2为首项，l为公差的等差数列，故． （2）∵，∴， ∴在点处的切线方程为， 令， 得，∴， ∵仅当时取得最小值，∴，解之， ∴ 的取值范围为． （3），． 则， 因，则，显然． ∴ ∴ ∵，∴， ∴，∴ ∴． 2.(长沙市一中2010届高三第五次月考试卷) 已知函数 （1）讨论函数f (x)的极值情况； （2）设g (x) = ln(x + 1)，当x1x20时，试比较f (x1 – x2)与g (x1 – x2)及g (x1) –g (x2)三者的大小； 并说明理由． 【解析】（1）当x0时，f (x) = ex – 1在(0，+∞)单调递增，且f (x)0； 当x≤0时，． ①若m = 0，f ′(x) = x2≥0, f (x) =在(–∞，0]上单调递增，且f (x) =． 又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函数，无极植； ②若m0，f ′(x) = x(x + 2m) 0，则f (x) =在(–∞，0)单调递增，同①可知f (x)在R上也是增函数，无极值；………………………………………………………………4分 ③若m0，f (x)在(–∞，–2m]上单调递增，在(–2m，0)单调递减， 又f (x)在(0, +∞)上递增，故f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值． 6分 （2）当x 0时，先比较ex – 1与ln(x + 1)的大小， 设h(x) = ex – 1–ln(x + 1) (x 0) h′(x) =恒成立 ∴h(x)在(0，+∞)是增函数，h(x)h (0) = 0 ∴ex – 1–ln(x + 1) 0即ex – 1ln(x + 1) 也就是f (x) g (x) ，成立． 故当x1 – x20时，f (x1 – x2) g (x1 – x2)………………………………………………10分 再比较与g (x1) –g (x2) = ln(x1 + 1) –ln(x2 + 1)的大小． = = ∴g (x1 – x2) g (x1) –g (x2) ∴f (x1 – x2) g (x1 – x2) g (x1) –g (x2) ．………………………………………………13分 3.(山东省东营市胜利一中)已知函数、为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由； （3）设令求证：. 【解析】， …………① …………2分 有极值，故方程有两个不等实根 ② 由①、②可得， 故实数a的取值范围是 ………… 4分 （2）存在 ………… 5分 ， + 0 － 0 + 极大值 极小值 ， …………8分 的极小值为1 …………9分 （3）， ， ……10分 证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立 ………… 11分 假设当n=k时结论成立，即，当n=k+1时， 左边 当且仅当x=1时等号成立，即当时原式也成立 …………13分 综上当成立 …………14分 4.（浙江省2010届第一次调研卷）已知函数(). (1) 当a = 0时, 求函数的单调递增区间; (2) 若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围. 【解析】(1): 当a = 0时, f (x)＝x3－4x2＋5x , 0, 所以 f (x)的单调递增区间为, . …………………(6分) (2) 解: 一方面由题意, 得 即 ; 另一方面当时, f (x) = (－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x , 令g(a) = (－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x, 则 g(a) ≤ max{ g(0), g() } = max{x3－4x2＋5x , (－2x3＋9x2－12x＋4)＋x3－4x2＋5x } = max{x3－4x2＋5x , x2－x＋2 }, f (x) = g(a) ≤ max{x3－4x2＋5x , x2－x＋2 }, 又{x3－4x2＋5x}=