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数学模型-足球联赛的理论保级分数 (2009-06-16 09:03:06)  HYPERLINK javascript:; 转载 标签：  HYPERLINK /c.php?t=blogk=%CC%E5%D3%FDts=bpoststype=tag \t _blank 体育  HYPERLINK /c.php?t=blogk=%C7%F2%B6%D3ts=bpoststype=tag \t _blank 球队  HYPERLINK /c.php?t=blogk=%D7%E3%C7%F2%C1%AA%C8%FCts=bpoststype=tag \t _blank 足球联赛  HYPERLINK /c.php?t=blogk=%CA%FD%D1%A7%C6%DA%CD%FBts=bpoststype=tag \t _blank 数学期望  HYPERLINK /c.php?t=blogk=%D2%E2%B4%F3%C0%FBts=bpoststype=tag \t _blank 意大利分类：  HYPERLINK /s/articlelist_1612442152_6_1.html \t _blank 理论路方法路策略 ??? 所谓理论保级分数，就是指一般来讲，一个参赛球队只要达到了这个分数，无论别的球队的成绩如何， ? 都能保证自己不会降级。这个分数无疑能给那些成绩不佳的球队的一个有效的参考，帮助他们调整策略。 ? ??? 当然，不仅是我国的足球联赛，其它各个国家的足球联赛，都会有保级分数的问题。??? ?? 那么这个理论保级分数应该如何计算呢？怎样找到一种普遍适用于各国足球联赛的计算理论保级分数的 ? 方法呢？下面，我们建立一个数学模型解决这个问题。??? 模型建立与分析 ?? 要想研究理论保级分数，就必须研究每支球队在每场比赛中的成绩。通过观察各大联赛的比赛情况，我 ? 们可以知道，球队的实力对比赛结果有很大的影响。比如，实力差距比较大的两支球队比赛，实力强的一方 ? 获胜的希望比较大。所以，如果讨论联赛的积分情况，就不能回避球队实力的差异问题。 ??? 但是球队的实力是一个很抽象的事物，不易计算和比较，为了能用数学语言描述它，可以为每个球队引 ? 入一个参数，能够较好的描述球队的实力称它为这个球队的实力数，我们可以定义随机变量X为一支球队在 ? 某一场比赛中的结果。它可能有三种情况，即胜（积3分）、平（积1分）、负（积0分〕。??们可以统计出 ? 每场比赛中两队的胜、平、负的频率（可近似地看成每种情况出现的概率）P， ? ?通过公式 ?? E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+...+xnpn ??? 求出一支球队在每场比赛中的数学期望。将所有比赛的数学期望值相加，就可以求出理论上这支球队的 ? 最后积分。另外，应该注意到主客场的差异对比赛结果的影响。所以，如果主客场情况不同，相应的胜、 ? 负、平频率也不同，数学期望值也就不同。 ? ?? 一、模型假设 ??? 1．假设参加某一联赛的所有球队的实力数由小（实力强）到大（实力弱）可构成一个等差数列。并且 ? 认为等差数列的首项为1，公差为1。由此，一个联赛中的各个球队可以分别用一个数字代替，即，将所有n ? 支参赛球队按实力由强到弱排列,则依次1,2,3,4，...,n。这样每场比赛就有一个对应的实力数之差。如实 ? 力数为3和7的两支球队之间的比赛，实力差是4。 ??? 2．假设任何不可预知的因素与比赛结果无关。即比赛结果只与两支球队的实力差和主客场因素有关。 ? 如认为球队3主场与球队8的比赛，和球队1主场与球队6的比赛没有任何区别。? ? ?3．假设统得出的每个实力差值对应的比胜、负、平的频率等于在理论上这些情况出现的频率。?? ?二、定义变量 ?? E(X)：一支球队在一场比赛中的数学期望值。? ?Ti：一支球队i在所有比赛中的数学期望值之和。?? n:? 参加联赛的球队总数。?? m：联赛结束后将要降级的球队数目。?? s:? 一场比赛中实力较强的球队获胜的概率。?? P：一场比赛中实力较强的球队战平的概率。?? f：一场比赛中实力较强的球队失败的概率。?? ? 解决问题 ?? 一、统计随机变量X的分布 ?? 我们选取了英格兰足球超级联赛、德国足球甲级联赛、意大利足球甲级联赛、中国的甲级联赛中1999～ ? 2000赛季的详细情况，并根据这些数据统计了当实力数差分别为1,2,3,...，19时，较强的一方获胜、战 ? 平、战败的频率。如下表：（单位：％） 实力差?? 主场????????????? 客场 ??? 胜?? 平???? 负???? ?胜??? 平??