[数学]2013高三数学一轮复习 立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版.ppt

热点之三 利用空间向量求二面角 利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1·n2〉)． 注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． 即时训练 解：(1)∵PA＝AD，M为△PAD的边PD的中点，∴AM⊥PD. 又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面AMN⊥平面PCD. 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法．另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型． [例4]　(2010·福建高考)如右图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC－A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径． (1)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1； (2)设AB＝AA1.在圆柱OO1内随机选取 一点，记该点取自于三棱柱ABC－A1B1C1内的概率为p. (ⅰ)当点C在圆周上运动时，求p的最大值； (ⅱ)记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°θ≤90°)．当p取最大值时，求cosθ的值． [解]　(1)∵A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1A⊥BC. ∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC. 又AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面A1ACC1. 而BC?平面B1BCC1， 所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1. (ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时，OC⊥AB. 于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz(如上图)， 则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r,2r)． 1．(2010·全国Ⅰ)如右图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC. (1)证明：SE＝2EB； (2)求二面角A－DE－C的大小． 高三总复习 人教A 版 ·数学 （理） 第七节 立体几何中的向量方法 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 一、平面的法向量 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 的向量，显然一个平面的法向量有 多个，它们是 向量． 2．在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 平面垂直 无数 共线 唯一的． 二、利用向量求空间角 1．求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ， 则sinθ＝ ＝ . 3．求二面角的大小 (1)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是 的夹角(如下图①)． |cos〈a，n〉| (2)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 (如上图②③)． 二面角的 平面角的大小 1．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点坐标为(　　) A．(1，－3，－4)　　 B．(－4,1，－3) C．(3，－1,4) D．(4，－1,3) 答案：C 答案：C 4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n＝(－1,2)的直线(点法式)方程为－(x－2)＋2(y－1)＝0，化简后得x－2y＝0.类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1,3)，且法向量n＝(－1,2,1)的平面(点法式)方程为____________．(请写出化简后的结果) 答案：x－2y－z＋3＝0 5．如下图，已知三棱锥A—BCD中，A(－1,0,0)，B(0,1,0)，C(－4,0,0)，D(0,0,2)，则该三棱锥的高为________．