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[数学]23 等差数列的前n项和二课件人教A版必修5
错因分析:解中仅解不等式an>0是不正确的,事实上应解an≥0,an+1≤0. ∵S10=S15, ∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0, ∵a11+a15=a12+a14=2a13=0,∴a13=0. ∵公差d<0,a1>0, ∴a1,a2,…,a11,a12均为正数,而a14及以后各项均为负数. ∴当n=12或13时,Sn有最大值为S12=S13=130. 课堂总结 2.利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差的关系,直接应用于解题中,使较为复杂的问题得以简化. 课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升 2.3 等差数列的前n项和(二) 了解等差数列前n项和公式的函数特征,掌握等差数列前n项和的性质,灵活运用等差数列前n项和公式及有关性质解题. 答案:充要 自学导引 答案:等差 答案:(2n-1) 答案:Sm+p=0 自主探究 1.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩下的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为 ( ) A.9 B.10 C.19 D.29 答案:B 预习测评 2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 ( ) A.2 B.24 C.3 D.25 解析:a2+a4+a6+a8+a10=30 ① a1+a3+a5+a7+a9=15 ② ①-②得:5d=15.∴d=3.选C. 答案:C 答案:10 解析:因为数列a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8为等差数列,所以a7+a8=4. 答案:4 1.等差数列前n项和公式 (1)性质1:Sn=An2+Bn(A、B为常数)an=pn+q(p、q为常数). (2)性质2:①在等差数列中,间隔相等,连续等长的片段和序列仍成等差数列. 如:a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,…,公差为4d. 要点阐释 a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,…,公差为3d. a1+a3+a5,a2+a4+a6,a3+a5+a7,…公差为3d. ②等差数列依次k项之和仍是等差数列. 即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d. 2.等差数列的前n项和的最值的求法 (1)符号转折点法 (2)利用二次函数求Sn的最值 题型一 等差数列前n项和公式性质的应用 典例剖析 解法四:∵S10,S20-S10,…,S100-S90,S110-S100,…组成一首项为100的等差数列,设公差为d,前n项和为Tn. 方法点评:本题解法较多,解答一是此类题目的基本解法,但显得较烦琐,解答二、三、四主要运用了等差数列及其前n项和的性质,由此可见,灵活运用性质能给解题带来很大方便. 解法二:在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列. ∴30,70,S3m-100成等差数列, ∴2×70=30+S3m-100. ∴S3m=210. 答案:210 题型二 等差数列前n项和的最值问题 (1)从第几项开始有an<0; (2)求此数列前n项和的最大值. 解:(1)∵a1=50,d=-0.6, ∴an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6<0. (2)解法一:∵d=-0.6<0,a1=50>0, 由(1)知a84>0,a85<0, ∴S1<S2<S3…<S84>S85>S86… 方法点评:等差数列中,d>0,数列递增;d<0,数列递减,因而若有连续两项ak,ak+1异号,则Sk必为Sn的最大值或最小值. 又a1=13,∴d=-2, ∴an=13+(n-1)(-2)=15-2n. 令an≥0,得n≤7.5,即数列的前7项为正整数,从第8项起,以后各项为负数项, ∴当n=7时,Sn最大,且S7=49. 误区解密 分析问题不严密致误 课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
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