[数学]4-2 中心极限定理.ppt

(1)该餐厅每天的营业额为 这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760之间的概率近似为0.90. (2)利用林德贝格-列维中心极限定理, 可得 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95? 解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 E?Xi ? ?2, D?Xi ? ?2.25. 令 , 则E?Z? ?2n, D?Z? ?2.25n. 根据林德贝格-列维中心极限定理, Z近似服从 N ?2n, 2.25n?. 例1-4 查表得 . 即n满足方程 解方程, 得n=113.12. 因此, 取n=114即可. 则有 每人每年交200元. 若老人在该年内死亡, 公司付 给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017, 试求保险 公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设 X 为一年中投保老人 其中 n?10000, p ?0.017. 且 的死亡数, 则 X ? B?n, p? 例2-1 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加, 保险公司亏本的概率为 由棣莫佛?拉普拉斯定理知 遭受了90000次波浪冲击, 问其中有29500～30500 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次 海浪的冲击, 纵摇角大于 3o 的概率为1/3, 若船舶 解 将船舶每遭受一次海浪的 冲击看作一次试验, 并假设各 次试验是独立的. 在90000次 波浪冲击中纵摇角大于 3o 的次数为X, 则X是 一个随机变量, 且 X ? B?90000, 1/3?. 分布律为 次纵摇角大于 3o 的概率是多少？ 例2-2 所求概率为 直接计算很麻烦，利用棣莫佛-拉普拉斯定理 解 令X表示同时要外线的 电话机数, 则 X~B?1000, 0.05?, 且 np?50, np(1－p)?47.5. 根据棣莫佛-拉普拉斯定理, X近似服N?50,47.5?. 假定安装 k 条外线, 可使 某单位有1000部内线电话, 每部电话打 外线的概率为0.05, 问需要装多少外线, 才能保 证每部电话打外线时, 即时接通的概率不小于 0.95? 例2-3 查表得 ??1.645? ? 0.95. 由单调性, 应有 解得 k ? 61.3. 因此, 安装62条外线即可. 则有 假设对于一个学生而言, 来参加家长会的 家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、 1名家长和2名家长来参加的概率分别为 0.05、 0.8和0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率. 解 (1) 以 Xk ?k=1, 2,…, 400? 记 第k个学生来参加会议的家长数. 例2-4 则Xk的分布律为 由林德贝格-列维中心极限定理知 近似服从正态分布N?0, 1?. 于是 (2) 以Y记有1名家长来参加会议的学生数, 则Y ? B?400, 0.8?. 由棣莫佛-拉普拉斯定理知 棣莫佛(Abraham de Moivre) 主要的贡献是在一般分布与概率论上, 包括斯特林公式以及棣莫佛-拉普拉斯定理. 法国数学家. 发现了棣莫佛公式, 将复数与三角学联系起来. 1667-1754 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace) 法国著名的天文学家和数学家,天体力学的集大成者. 1749-1827 因著名杰作《天体力学》被誉为是法国的牛顿.首次提出“天体力学”这一学科名称. 是现在广泛应用于各个领域的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者. 李雅普诺夫( Aleksandr Mikhailovich Lyapunov) 俄国数学家、力学家, 是切比谢夫创立的彼得堡学派的杰出代表. 1857-1918 在概率论方面, 创立了的特征函数方法, 实现了概率论极限理论在研究方法上的突破. 是常微分方程运动稳定性理论的创始人. 下 回 停 一、问题的提出 二、中心极限定理 第二节 中心极限定理 一、问题的提出 由上一节大数定律,我们得知满足一定条件 的随机变量序列的算数平均值依概率收敛. 在实际中, 人们发现 n 个相互独立同分布 的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且 n 越大,近似程度越好. 为了对此问题有个初步的认识，我们通过以下实例加以说明 解 利用卷积公式可以得到n较小时和函数的分布密度，设 上述四个和函数的分布密度的示意图为 由此可以观察到：