[数学]D1_2数列的极限.ppt

第二节 一、数列与子列的定义 定义: 例1. 已知 例2. 已知 例3. 设 三、收敛数列的性质 例4. 证明数列 2. 收敛数列一定有界. 3. 收敛数列的保号性. 4. (归并性）数列 收敛于 的充分必要条件是 任一子数列收敛于 . 四、数列极限的四则运算法则 Ⅰ.定理2.6 夹逼准则 (准则1) (P26) 例5. 证明 Ⅱ、定理2.7 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P27) 例7. 设 根据准则 2 可知数列 Ⅲ. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P29) 内容小结 思考与练习 备用题 2. 设 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 : 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 第一章 2、数列极限的定义 3、数列极限的性质 1、数列与子数列的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 4、数列极限的四则运算法则 5 、数列极限存在的判别定理 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 或 定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 称为通项(一般项) . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 该如何用数学语言描述这种事实？ 当 n 无限增大时, 无限逼近 S, 则 定义: 数列 中任取无数项，依下标顺序 所组成的新的数列 称为 的一个子数列，记为 二、数列极限的定义 播放 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 若数列 及常数 A有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 A , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 A 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 且 时, 有 证: 对 A 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束