[数学]§242_抛物线的简单几何性质1.ppt

　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程. 已知抛物线y2=4x，过点P（1，1）能否作一条直线与抛物线交于A，B两点，且P为线段AB?的中点？若能．求出直线方程，若不能说出理由． * §2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） X 定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 抛物线的定义及标准方程 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l y2=-2px (p0) x2=2py (p0) y2=2px (p0) x2=-2py (p0) 一、温故知新 范围 1、 由抛物线y2 =2px（p0） 有 所以抛物线的范围为 二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质? 抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 对称性 2、 关于x轴 对称 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 顶点 3、 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。 y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）. 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 离心率 4、 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。 （二）归纳：抛物线的几何性质 e 对称轴 顶点 范围 准线 焦点 方程 图 形 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P(x,y) P越大,开口越开阔 补充（1）通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大,开口越开阔 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： （标准方程中2p的几何意义） 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 　　　因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　）， 解: 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上： 所以： 因此所求抛物线标准方程为： 三、典例精析 坐标轴 2 4 l 例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？ x o A y 若在水面上有一宽为2米,高 为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？ 思考题 2 B A（2,－2） x2=－2y B（1，y） y=－0.5 B到水面的距离为1.5米 不能安全通过 y=－3代入得 例题2 练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 . 2、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P= 。 4 A B F 解法1 F1(1 , 0), 解法2 F1(1 , 0), 解法3 F1(1 , 0), |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8 A B F A1 B1 例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程. 说明：中点弦问题的解决方法： ①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法 1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相切的直线方程. 说明：（1）联立方程组，结合判别式求解